Les probabilités
Leçon 2 - Les probabilités - Chapitre 2
Deux outils approfondis, l’événement contraire et les arbres de probabilités, avec méthode de combinaison et tableau récapitulatif. Exercices progressifs et corrections inclus.
Les Probabilités
approfondies
L'événement contraire et les arbres de probabilités
📋 Sommaire
- Rappel Ce que tu dois savoir avant de commencer
- 1. L'événement contraire
- Définition et notation
- La formule fondamentale : P(Ā) = 1 − P(A)
- Quand utiliser l'événement contraire ?
- Exemples et pièges
- 2. Les arbres de probabilités
- De l'arbre des possibilités à l'arbre de probabilités
- Règle de multiplication le long des branches
- Règle d'addition entre les branches
- Méthode complète en 5 étapes
- 3. Combiner les deux outils
- Problèmes nécessitant les deux outils
- Tableau récapitulatif — Quand utiliser quoi ?
- Ce que je retiens — Résumé et vocabulaire
- Exercices — Entraînement (p. dédiée)
- Corrections — Solutions complètes (p. dédiée)
- Une expérience aléatoire a des résultats imprévisibles mais listables.
- L'univers Ω est l'ensemble de toutes les issues possibles.
- La probabilité P(A) est un nombre entre 0 et 1. Si les issues sont équiprobables :
P(A) = nombre d'issues favorablesnombre total d'issues - La somme des probabilités de toutes les issues de Ω vaut toujours 1.
- La fréquence (résultat observé) se rapproche de la probabilité théorique quand on répète beaucoup d'essais.
Si l'un de ces points te semble flou, relis d'abord le Chapitre 1 avant de continuer.
L'événement contraire
1.1 — Définition et notation
Soit A un événement. L'événement contraire de A, noté Ā (on lit « A barre »), est l'événement qui se réalise exactement quand A ne se réalise pas.
Autrement dit : Ā regroupe toutes les issues de l'univers Ω qui n'appartiennent pas à A.
A et Ā sont complémentaires : ils n'ont aucune issue en commun, et ensemble ils couvrent tout l'univers.
| Événement A | Événement contraire Ā |
|---|---|
| Obtenir un nombre pair au dé | Obtenir un nombre impair |
| Tirer une bille rouge | Ne pas tirer de bille rouge (= bleue ou verte ou autre) |
| Obtenir au moins un 6 en lançant deux dés | N'obtenir aucun 6 |
| Il pleuvra demain | Il ne pleuvra pas demain |
| Tirer un as dans un jeu de 32 cartes | Ne pas tirer d'as |
1.2 — La formule fondamentale
Rappelle-toi : la somme des probabilités de toutes les issues vaut 1. Puisque A et Ā se partagent exactement toutes les issues sans chevauchement, on a :
Ce qui donne immédiatement deux formules équivalentes très utiles :
- P(Ā) = 1 − P(A)
- P(A) + P(Ā) = 1
- Si P(A) = 0 alors P(Ā) = 1 (A impossible, et réciproquement Ā certain).
On peut visualiser cette relation comme une barre représentant l'univers entier (probabilité totale = 1) :
On lance un dé équilibré. On pose A = « obtenir un multiple de 3 ».
Un dé a 6 faces numérotées. Toutes les issues possibles forment l'univers Ω :
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} → il y a 6 issues au total.
C'est ce nombre 6 qui sera au dénominateur de toutes nos fractions.
A = « obtenir un multiple de 3 ». On passe en revue chaque face :
Les issues favorables sont {3, 6} → il y en a 2.
C'est ce nombre 2 qui sera au numérateur.
On applique la formule :
On simplifie 2/6 en divisant numérateur et dénominateur par 2.
Ā = « ne pas obtenir de multiple de 3 ». On utilise la formule magique :
On peut vérifier en listant les issues de Ā = « pas de multiple de 3 » :
Ā = {1, 2, 4, 5} → 4 issues sur 6 → P(Ā) = 46 = 23 ✓ Même résultat qu'à l'étape ④ !
Une urne contient 20 boules numérotées de 1 à 20. On en tire une au hasard. On pose A = « obtenir un multiple de 3 ».
On cherche les multiples de 3 parmi 1, 2, 3… 20. On les passe en revue :
Issues favorables : {3, 6, 9, 12, 15, 18} → il y en a 6. Ce 6 sera au numérateur.
P(A) = 6 issues favorables 20 issues au total = 620 = 310 (on simplifie en divisant par 2)
P(Ā) = 1 − P(A) = 1 − 310 = 710
💡 Sans cette formule, il aurait fallu lister les 14 boules non-multiples de 3 une par une, puis calculer 14/20… Beaucoup plus long ! L'événement contraire nous a fait gagner un temps précieux.
Les boules non multiples de 3 = 20 − 6 = 14 boules.
P(Ā) = 1420 = 710 ✓ Même résultat — c'est bon !
1.3 — Quand utiliser l'événement contraire ?
L'astuce est simple : utiliser le contraire quand il est plus facile de calculer P(A) que P(Ā), ou inversement. En particulier, l'événement contraire est très utile face à l'expression « au moins un ».
Formule : P(« au moins un ») = 1 − P(« aucun »)
Méthode directe : il faudrait lister (F,P,P), (P,F,P), (P,P,F), (F,F,P), (F,P,F), (P,F,F), (F,F,F) = 7 issues favorables sur 8. Long !
Méthode par le contraire :
- Ā = « aucune face » = « trois fois pile » = {(P,P,P)} → 1 issue sur 8
- P(Ā) = 18
- P(A) = 1 − 18 = 78
Règle : le contraire de « au moins 1 » est « 0 ». Le contraire de « exactement 2 » n'est pas « exactement 0 » : c'est « 0, 1, 3, 4, 5… » (tout sauf 2).
Les arbres de probabilités
2.1 — De l'arbre des possibilités à l'arbre de probabilités
La différence entre les deux arbres est simple :
| Arbre des possibilités (Ch. 1) | Arbre de probabilités (Ch. 2) |
|---|---|
| On écrit les noms des issues sur les branches | On écrit les probabilités sur chaque branche |
| On compte les issues favorables | On multiplie les probabilités pour obtenir celle d'une issue composée |
| Ne fonctionne bien que si toutes les issues sont équiprobables | Fonctionne même si les issues ne sont pas équiprobables |
L'arbre de probabilités est donc bien plus puissant : il généralise le premier.
2.2 — Règle 1 : Multiplication le long d'une branche
P(issue composée) = P(branche 1) × P(branche 2) × …
Cette règle est valide quand les étapes sont indépendantes (le résultat d'une étape n'influence pas l'étape suivante).
On lance une pièce équilibrée, puis un dé équilibré à 6 faces.
On lit : P(Pile, 3) = 12 × 16 = 112. On multiplie les probabilités des deux branches successives.
2.3 — Règle 2 : Addition entre les branches
P(événement) = somme des probabilités de toutes les issues correspondantes
Dans l'expérience pièce + dé, on cherche : quelle est la probabilité d'obtenir Face ET le chiffre 6 ?
L'arbre nous donne toutes les issues. Il suffit de repérer celle qui nous intéresse :
| Issue | Favorable ? | Probabilité |
|---|---|---|
| (Pile, 1) | — | 1/12 |
| (Pile, 2) | — | 1/12 |
| (Pile, 3) | — | 1/12 |
| (Pile, 4) | — | 1/12 |
| (Pile, 5) | — | 1/12 |
| (Pile, 6) | — | 1/12 |
| (Face, 1) | — | 1/12 |
| (Face, 2) | — | 1/12 |
| (Face, 3) | — | 1/12 |
| (Face, 4) | — | 1/12 |
| (Face, 5) | — | 1/12 |
| (Face, 6) | ✓ | 1/12 |
Une seule issue correspond exactement à « Face ET 6 » : c'est (Face, 6), sur 12 issues au total.
P(Face ET 6) = 112
On lit directement ce résultat sur l'arbre : c'est la probabilité au bout de la branche (Face, 6), obtenue en multipliant 12 × 16 = 112.
2.4 — Exemple central : Arbre non équiprobable
Voici l'apport principal de l'arbre de probabilités par rapport à l'arbre des possibilités : il fonctionne même quand les issues ne sont pas toutes équiprobables.
Un sac contient 3 billes rouges et 2 billes bleues. On tire une bille, on note sa couleur, on la remet dans le sac, puis on tire à nouveau une bille.
P(rouge au 1er tirage) = 35 P(bleue au 1er tirage) = 25
Comme on remet la bille, les probabilités sont les mêmes au 2e tirage.
Questions et réponses :
- P(deux billes rouges) = 35 × 35 = 925
- P(deux billes bleues) = 25 × 25 = 425
- P(une rouge et une bleue, dans n'importe quel ordre) = P(Rouge,Bleue) + P(Bleue,Rouge) = 625 + 625 = 1225
- P(au moins une rouge) = 1 − P(aucune rouge) = 1 − P(Bleue,Bleue) = 1 − 425 = 2125
Si on ne remet pas la bille (sans remise), les probabilités du 2e tirage changent selon ce qu'on a obtenu au 1er tirage. Par exemple : si on a tiré rouge au 1er, il reste 2 rouges et 2 bleues → P(rouge au 2e | rouge au 1er) = 24 = 12. L'arbre fonctionne toujours, mais les probabilités des branches du 2e niveau varient selon la branche choisie au 1er niveau. Ce point sera approfondi au lycée.
2.5 — Méthode complète en 5 étapes
- Identifier les étapes successives de l'expérience.
- Tracer l'arbre : une branche par issue à chaque étape.
- Écrire les probabilités sur chaque branche.
- Vérifier que la somme des probabilités sortant d'un même nœud vaut toujours 1.
- Calculer : multiplier le long d'un chemin, additionner les chemins favorables.
Vérification finale : la somme de toutes les probabilités au bout des branches doit valoir 1.
Combiner les deux outils
3.1 — Problème combinant les deux outils
On lance un dé équilibré deux fois. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins un 6 ?
Étape 1 — Identifier le contraire.
Ā = « aucun 6 » = « ni 6 au 1er lancer, ni 6 au 2e lancer ».
Étape 2 — Construire l'arbre (simplifié) et calculer P(Ā).
Étape 3 — Appliquer l'événement contraire.
- P(Ā) = P(aucun 6) = P(pas 6, pas 6) = 56 × 56 = 2536
- P(A) = P(au moins un 6) = 1 − 2536 = 1136
Vérification directe : les issues avec au moins un 6 sont (6,6), (6, pas 6), (pas 6, 6) → 136 + 536 + 536 = 1136 ✓
3.2 — Tableau récapitulatif : quand utiliser quoi ?
| Situation | Outil recommandé | Pourquoi ? |
|---|---|---|
| Calculer P(Ā) quand P(A) est plus simple | 📌 Événement contraire seul | P(Ā) = 1 − P(A) suffit. |
| Expérience à 2 étapes ou plus, issues équiprobables | 🌳 Arbre de probabilités | Organisation claire, multiplication le long des branches. |
| Expérience à 2 étapes, issues non équiprobables | 🌳 Arbre de probabilités | Seul outil valide ; la formule de base ne fonctionne plus seule. |
| Événement « au moins un » sur plusieurs étapes | 🌳 + 📌 Les deux combinés | L'arbre calcule P(aucun), le contraire donne P(au moins un). |
| Expérience simple, une seule étape | Formule de base (Ch.1) | P(A) = issues favorables / total, si équiprobables. |
Ce que je retiens
- L'événement contraire de A, noté Ā, regroupe toutes les issues où A ne se réalise pas.
- P(A) + P(Ā) = 1, donc P(Ā) = 1 − P(A).
- Le contraire est très utile pour calculer rapidement des probabilités « difficiles » à partir de probabilités « faciles ».
- Face à « au moins un », calculer le contraire (aucun) et soustraire de 1.
- Un arbre de probabilités écrit les probabilités sur chaque branche et fonctionne même quand les issues ne sont pas équiprobables.
- On multiplie les probabilités le long d'un chemin pour obtenir la probabilité d'une issue composée.
- On additionne les probabilités des issues composées pour obtenir celle d'un événement.
- La somme des probabilités au bout de toutes les branches d'un arbre vaut toujours 1.
| Événement contraire (Ā) | L'événement « A ne se réalise pas ». Il regroupe toutes les issues de l'univers qui n'appartiennent pas à A. |
| Complémentaires | A et Ā sont complémentaires : ensemble ils couvrent tout l'univers, et ils n'ont aucune issue en commun. P(A) + P(Ā) = 1. |
| Arbre de probabilités | Schéma en arbre où chaque branche porte une probabilité. On multiplie le long d'un chemin et on additionne les chemins favorables. |
| Tirage avec remise | On remet l'objet tiré avant le tirage suivant : les probabilités restent constantes à chaque étape. |
| Tirage sans remise | On ne remet pas l'objet tiré : les probabilités changent à chaque étape (les branches du 2e niveau dépendent du 1er). |
| Issues indépendantes | Deux expériences sont indépendantes si le résultat de l'une n'influence pas l'autre. On peut alors multiplier leurs probabilités. |
Exercices d'entraînement
Corrections à la page suivante. Fais chaque exercice avant de regarder les réponses. ⭐ Facile ⭐⭐ Moyen ⭐⭐⭐ Difficile ⭐⭐⭐⭐ Défi
On lance un dé équilibré à 6 faces.
- Soit A = « obtenir un nombre strictement supérieur à 2 ». Calcule P(A) directement, puis calcule P(Ā) par la formule du contraire. Vérifie en calculant P(Ā) directement.
- Soit B = « obtenir un nombre divisible par 2 ou par 3 ». Calcule P(B) en listant les issues favorables. Puis calcule P(B̄).
Une urne contient 15 boules : 6 rouges, 5 bleues, 4 vertes. On tire une boule au hasard.
- Calcule P(rouge), P(bleue), P(verte). Vérifie que leur somme vaut 1.
- Soit C = « ne pas tirer de boule verte ». Calcule P(C) par deux méthodes : directement, puis par l'événement contraire.
- Soit D = « tirer une boule rouge ou bleue ». P(D) est-il égal à P(C) ? Explique pourquoi.
On lance une pièce équilibrée 4 fois.
- Quel est le nombre total d'issues possibles ? (Conseil : utilise la multiplication.)
- Quelle est la probabilité d'obtenir quatre fois pile ?
- En utilisant l'événement contraire, calcule P(« obtenir au moins une fois face »).
- En utilisant l'événement contraire, calcule P(« obtenir au moins une fois pile »).
- Peut-on avoir P(« au moins une fois pile ») + P(« au moins une fois face ») = 1 ? Explique.
On lance deux dés équilibrés à 4 faces (numérotés 1, 2, 3, 4).
- Construis l'arbre de probabilités de cette expérience (tu peux te limiter aux probabilités sur les branches, sans dessiner toutes les issues si c'est trop long).
- Combien d'issues y a-t-il au total ?
- Calcule P(obtenir deux fois le même chiffre).
- Calcule P(la somme des deux dés est égale à 5).
- Calcule P(obtenir au moins un 4) en utilisant l'événement contraire.
Un sac contient 4 billes rouges et 1 bille noire. On tire une bille, on la remet, et on tire à nouveau.
- Quelle est la probabilité de tirer une bille rouge à chaque tirage ?
- Construis l'arbre de probabilités complet.
- Calcule P(deux billes rouges).
- Calcule P(au moins une bille noire) à l'aide de l'événement contraire.
- Vérifie que la somme de toutes les probabilités au bout des branches vaut 1.
Une fabrique produit des stylos. On sait qu'un stylo pris au hasard est défectueux avec une probabilité de 0,1 (soit 10 %).
- On prend un stylo. Quelle est la probabilité qu'il ne soit pas défectueux ?
- On prend deux stylos successivement, de façon indépendante. Construis l'arbre de probabilités avec les événements « Défectueux (D) » et « Non défectueux (N) ».
- Calcule P(les deux stylos sont défectueux).
- Calcule P(exactement un stylo est défectueux).
- Calcule P(au moins un stylo est défectueux) par l'événement contraire. Vérifie en additionnant les probabilités des issues favorables.
Dans un jeu, un joueur lance un dé à 6 faces. S'il obtient un 6, il gagne immédiatement. Sinon, il lance une seconde fois. S'il obtient un 6 au second lancer, il gagne également. Sinon, il perd.
- Construis l'arbre de probabilités de ce jeu (deux niveaux : « 6 » ou « pas 6 » à chaque lancer).
- Calcule P(gagner au 1er lancer).
- Calcule P(gagner au 2e lancer).
- Calcule P(gagner, quelle que soit l'étape) en additionnant les deux probabilités précédentes.
- Retrouve ce résultat à l'aide de l'événement contraire : P(gagner) = 1 − P(perdre). Compare avec la question 4.
- Est-ce que ce jeu est « équitable » ? (Un jeu est équitable si la probabilité de gagner est exactement 12.) Justifie.
Corrections des exercices
Lis les corrections uniquement après avoir répondu par toi-même. Si tu t'es trompé(e), cherche d'où vient l'erreur avant de continuer.
2. Issues divisibles par 2 : {2,4,6}. Issues divisibles par 3 : {3,6}. Union : {2,3,4,6} → 4 issues (attention, 6 n'est compté qu'une seule fois). P(B) = 46 = 23. P(B̄) = 1 − 23 = 13. Ici B̄ = {1,5} → P(B̄) = 26 = 13 ✓
Somme : 615 + 515 + 415 = 1515 = 1 ✓
2. Directement : C = {rouge, bleue} → P(C) = (6+5)/15 = 1115.
Par contraire : C̄ = {verte} → P(C̄) = 415 → P(C) = 1 − 415 = 1115 ✓
3. Oui, P(D) = P(C) = 1115, car D et C décrivent le même événement : « ne pas tirer de verte ». Les deux formulations sont équivalentes.
2. P(4 fois pile) = (12)⁴ = 116.
3. Ā = « aucune face » = « 4 fois pile ». P(Ā) = 116. P(A) = 1 − 116 = 1516.
4. Par symétrie, P(« au moins une pile ») = 1 − P(4 fois face) = 1 − 116 = 1516.
5. Non. Les deux événements « au moins une pile » et « au moins une face » ne sont pas contraires l'un de l'autre. Un lancer peut très bien contenir à la fois au moins une pile et au moins une face (par exemple : Pile, Face, Pile, Pile). Leur somme n'est donc pas 1 ; elle vaut ici 1516 + 1516 = 3016 > 1.
2. 4 × 4 = 16 issues au total. Chaque issue a une probabilité 116.
3. Paires (même chiffre) : (1,1), (2,2), (3,3), (4,4) → 4 issues → P = 416 = 14.
4. Somme = 5 : (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) → 4 issues → P = 416 = 14.
5. Ā = « aucun 4 » : on obtient 1, 2 ou 3 aux deux dés. P(pas de 4 au 1er) = 34, P(pas de 4 au 2e) = 34. P(Ā) = 34 × 34 = 916. P(au moins un 4) = 1 − 916 = 716.
2. Arbre : deux niveaux, branches R(45) et N(15) à chaque étape. 4 issues composées.
3. P(R,R) = 45 × 45 = 1625.
4. Ā = « aucune noire » = P(R,R) = 1625. P(au moins une noire) = 1 − 1625 = 925.
5. Somme : P(R,R) + P(R,N) + P(N,R) + P(N,N) = 1625 + 425 + 425 + 125 = 2525 = 1 ✓
2. Arbre : branches D (0,1) et N (0,9) à chaque niveau. 4 issues : (D,D), (D,N), (N,D), (N,N).
3. P(D,D) = 0,1 × 0,1 = 0,01.
4. P(exactement un D) = P(D,N) + P(N,D) = 0,1 × 0,9 + 0,9 × 0,1 = 0,09 + 0,09 = 0,18.
5. Ā = (N,N) → P(N,N) = 0,9 × 0,9 = 0,81. P(au moins un D) = 1 − 0,81 = 0,19.
Vérification : P(D,D) + P(D,N) + P(N,D) = 0,01 + 0,09 + 0,09 = 0,19 ✓
2. P(gagner au 1er lancer) = 16.
3. P(gagner au 2e lancer) = P(pas 6 au 1er) × P(6 au 2e) = 56 × 16 = 536.
4. P(gagner) = 16 + 536 = 636 + 536 = 1136.
5. P(perdre) = P(pas 6, pas 6) = 56 × 56 = 2536. P(gagner) = 1 − 2536 = 1136 ✓ Même résultat.
6. Non, ce jeu n'est pas équitable. P(gagner) = 1136 ≈ 0,306, ce qui est inférieur à 12. Le joueur a environ 30,6 % de chances de gagner et 69,4 % de perdre. Pour qu'il soit équitable, il faudrait P(gagner) = 12.