Mathématiques
2 leçons
Les probabilités
Leçon 1 - Les probabilités - Chapitre 1
Le hasard, ça se calcule vraiment ? Initiation aux probabilités.
Mathématiques — Cycle 3
🎲
Les Probabilités
Le hasard, ça se calcule vraiment ?
📋 Sommaire
- 1. Le hasard : chance ou science ?
- Qu'est-ce qu'une expérience aléatoire ?
- Issues possibles et événements
- Vocabulaire essentiel
- 2. Mesurer le hasard : la probabilité
- L'échelle des probabilités (0 à 1)
- Calculer une probabilité — situation équiprobable
- Probabilité d'un événement composé
- 3. Probabilité et fréquence
- Fréquence observée vs probabilité théorique
- Fréquence ≠ probabilité
- La loi des grands nombres
- 4. Organiser les possibilités
- Arbre des possibilités
- Problèmes de la vie réelle
- Ce que je retiens — Résumé du cours
- Exercices — Entraînement (p. dédiée)
- Corrections — Solutions complètes (p. dédiée)
1
🎯
Le hasard : chance ou science ?
Imagine : tu tires à pile ou face pour décider qui commence au foot. Ton adversaire dit qu'il « a de la chance ». Mais attends… est-ce vraiment une question de chance ? Peut-on calculer si tu vas gagner ou perdre ce tirage ? La réponse va te surprendre.
1.1 — Qu'est-ce qu'une expérience aléatoire ?
Dans la vie, certaines choses sont certaines : demain le soleil se lèvera à l'est. D'autres sont impossibles : lancer un dé et obtenir 7 (avec un dé classique à 6 faces !). Et entre les deux, il y a une immense zone : les choses incertaines, où l'on ne sait pas d'avance ce qui va se passer.
Une expérience aléatoire (le mot aléatoire vient du latin alea, qui veut dire « dé ») est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat à l'avance, mais dont on connaît tous les résultats possibles.
📖 Définition — Expérience aléatoire
Une expérience est dite aléatoire si : (1) on ne peut pas prédire son résultat à l'avance, et (2) on peut lister tous ses résultats possibles.
Exemples : lancer un dé, tirer une carte, faire tourner une roue colorée, choisir au hasard un bonbon dans un sac.
💡 Le savais-tu ?
Le mot alea en latin signifiait le jeu de dés. Jules César, en décidant de franchir le Rubicon (une rivière interdite par la loi romaine), aurait dit : « Alea jacta est » — « Le dé est jeté ! » C'est-à-dire : la décision est prise, quoi qu'il arrive. Les Romains associaient donc déjà le dé à l'idée de destin incertain.
1.2 — Issues possibles et événements
Quand on lance un dé à 6 faces, les résultats possibles sont : 1, 2, 3, 4, 5 et 6. On appelle chaque résultat possible une issue. L'ensemble de toutes les issues s'appelle l'univers de l'expérience.
Maintenant, imaginons qu'on veuille savoir si on obtient un nombre pair. Ce n'est plus une seule issue, mais un groupe d'issues : {2, 4, 6}. Ce groupe s'appelle un événement.
📖 Définitions — Univers, Issue, Événement
- Univers (noté Ω, lettre grecque "oméga") : l'ensemble de toutes les issues possibles d'une expérience.
- Issue : un résultat possible unique. Pour un dé, les issues sont : 1, 2, 3, 4, 5, 6.
- Événement : un groupe d'issues auquel on s'intéresse. Exemple : « obtenir un nombre pair » = {2, 4, 6}.
✏️ Exemple — Le sac de billes
Un sac contient 3 billes rouges, 2 billes bleues et 1 bille verte. On tire une bille au hasard. Toutes les billes sont de même taille, donc chaque bille individuelle a autant de chance d'être tirée.
- Univers (6 issues équiprobables) : {rouge₁, rouge₂, rouge₃, bleu₁, bleu₂, vert₁}
- Événement A « tirer une bille rouge » : {rouge₁, rouge₂, rouge₃} → 3 issues sur 6, donc P(A) = 36 = 12
- Événement B « ne pas tirer de bille verte » : {rouge₁, rouge₂, rouge₃, bleu₁, bleu₂} → 5 issues sur 6, donc P(B) = 56
⚠️ Erreur fréquente : noter l'univers {rouge, bleu, vert} avec seulement 3 issues serait faux, car ces 3 couleurs ne sont pas équiprobables (3 rouges vs 1 verte). Il faut toujours compter le nombre réel d'objets, pas seulement les catégories.
⚠️ Idée reçue à corriger !
On dit souvent « j'ai une chance sur deux » pour n'importe quoi : « soit ça marche, soit ça ne marche pas ». C'est faux ! Il ne suffit pas que deux résultats existent pour qu'ils soient également probables. Si tu participes à un concours avec 100 joueurs, tu n'as pas « une chance sur deux » de gagner sous prétexte que soit tu gagnes, soit tu perds. Tu as une chance sur cent.
1.3 — Vocabulaire essentiel
📚 Vocabulaire — Partie 1
| Aléatoire | Dont le résultat dépend du hasard et ne peut pas être prédit à l'avance. |
| Expérience aléatoire | Expérience que l'on peut répéter dans les mêmes conditions, mais dont le résultat change à chaque fois. |
| Issue | Un résultat possible et unique d'une expérience aléatoire. |
| Univers (Ω) | L'ensemble de toutes les issues possibles. |
| Événement | Un ou plusieurs résultats regroupés, auxquels on s'intéresse. |
| Événement certain | Événement qui se réalise toujours (ex : obtenir moins de 7 avec un dé à 6 faces). |
| Événement impossible | Événement qui ne peut jamais se réaliser (ex : obtenir 8 avec un dé à 6 faces). |
🔗 Pourquoi la suite ?
On sait maintenant décrire une expérience aléatoire. Mais comment mesurer les chances qu'un événement se produise ? C'est exactement l'objet de la partie suivante : attribuer un nombre à chaque événement pour exprimer sa chance de se réaliser.
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📊
Mesurer le hasard : la probabilité
Question : si tu joues à pile ou face, est-ce que tu as autant de chance d'obtenir pile que d'obtenir un 6 au dé ? Bien sûr que non ! Il faut un moyen de comparer les chances. Les mathématiciens ont inventé pour cela un nombre magique : la probabilité.
2.1 — L'échelle des probabilités
La probabilité est un nombre compris entre 0 et 1. Plus ce nombre est proche de 1, plus l'événement est probable. Plus il est proche de 0, moins l'événement est probable.
🎚️ Échelle des probabilités
0
0,25
0,5
0,75
1
Impossible 🚫
Peu probable
Une chance sur deux
Très probable
Certain ✅
📖 Définition — Probabilité
La probabilité d'un événement est un nombre entre 0 et 1 qui mesure ses chances de se réaliser.
- P = 0 : l'événement est impossible.
- P = 1 : l'événement est certain.
- P = 0,5 : l'événement a une chance sur deux de se produire.
On note la probabilité d'un événement A : P(A).
💡 Le savais-tu ? — L'histoire des probabilités
Les probabilités sont nées… d'un problème de jeux d'argent ! En 1654, un joueur appelé le chevalier de Méré perd de l'argent aux dés et ne comprend pas pourquoi. Il écrit au grand mathématicien Blaise Pascal (oui, le même que la calculatrice pascaline !). Pascal en discute avec son ami Pierre de Fermat. Ensemble, ils inventent le calcul des probabilités. Une théorie mathématique entière née d'un problème de jeu !
📅 Frise chronologique — Naissance des probabilités
🎲
Antiquité
Jeux de dés en Égypte et en Grèce (sans calcul)
✍️
1494
Luca Pacioli pose les premiers problèmes de partage équitable
📬
1654
Pascal et Fermat fondent la théorie des probabilités par correspondance
📐
1713
Jacques Bernoulli publie Ars Conjectandi, premier livre complet sur les proba.
🔬
Aujourd'hui
Météo, médecine, IA, finance : les probabilités sont partout !
2.2 — Calculer une probabilité dans une situation équiprobable
Quand toutes les issues ont exactement la même chance de sortir, on dit que les issues sont équiprobables (équi = égal, probable = qui a des chances). C'est le cas d'un dé non truqué, d'une pièce non truquée, ou d'un tirage au hasard dans un sac où les objets sont identiques en taille.
Dans ce cas, calculer une probabilité est simple :
P(événement) = nombre d'issues favorables ÷ nombre total d'issues
Ou encore, sous forme de fraction :
P(A) = nombre d'issues réalisant A / nombre total d'issues dans Ω
✏️ Exemple 1 — Dé à 6 faces
On lance un dé équilibré. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair ?
- Univers : {1, 2, 3, 4, 5, 6} → 6 issues au total
- Issues favorables (nombres pairs) : {2, 4, 6} → 3 issues
- P(nombre pair) = 36 = 12 = 0,5
✏️ Exemple 2 — Tirage de carte
Dans un jeu de 32 cartes, on tire une carte au hasard. Quelle est la probabilité de tirer un as ?
- Univers : 32 cartes → 32 issues au total
- Il y a 4 as dans un jeu de 32 cartes → 4 issues favorables
- P(as) = 432 = 18 ≈ 0,125
⚠️ Important — Conditions à respecter
La formule P(A) = (issues favorables) / (total d'issues) ne fonctionne que si toutes les issues sont équiprobables. Si le dé est truqué, si le sac contient des billes de tailles différentes (ce qui facilite la prise de certaines), la formule ne s'applique plus directement.
2.3 — Probabilité d'un événement composé
Parfois, l'événement qui nous intéresse est formé de plusieurs issues. La règle est simple : on additionne les probabilités de chaque issue favorable.
✏️ Exemple 3 — La roue des couleurs
Une roue est divisée en 8 secteurs égaux : 3 rouges, 3 bleus, 1 vert, 1 jaune. On fait tourner la roue.
| Événement | Issues favorables | Probabilité |
|---|---|---|
| Obtenir rouge | 3 secteurs rouges sur 8 | 38 = 0,375 |
| Obtenir bleu | 3 secteurs bleus sur 8 | 38 = 0,375 |
| Obtenir vert | 1 secteur vert sur 8 | 18 = 0,125 |
| Obtenir jaune | 1 secteur jaune sur 8 | 18 = 0,125 |
| Obtenir rouge ou bleu | 6 secteurs sur 8 | 68 = 34 = 0,75 |
Vérification : 38 + 38 + 18 + 18 = 88 = 1. La somme des probabilités de toutes les issues vaut toujours 1 ✓
📖 Propriété fondamentale
La somme de toutes les probabilités de l'univers vaut toujours 1.Cela signifie qu'il se passera forcément quelque chose parmi toutes les issues possibles.
🛠️ Méthode — Calculer une probabilité en 4 étapes
- Lister toutes les issues possibles (l'univers Ω).
- Vérifier que les issues sont équiprobables.
- Compter les issues favorables à l'événement.
- Calculer : P = issues favorables / total des issues.
🔗 Pourquoi la suite ?
On sait calculer une probabilité théoriquement. Mais est-ce que ça correspond à ce qui se passe vraiment quand on joue ? Si on lance un dé 6 fois, obtient-on forcément une fois chaque face ? Réponse dans la partie suivante, avec une expérience simple.
3
🔁
Probabilité et fréquence
Expérience mentale : si tu lances une pièce de monnaie 10 fois, obtiens-tu forcément 5 fois pile et 5 fois face ? Pas du tout ! Mais si tu la lances 10 000 fois, tu vas t'approcher très près de 5 000 / 5 000. Pourquoi ? C'est le secret de la partie 3.
3.1 — Fréquence vs probabilité
Imaginons qu'on lance un dé 60 fois et qu'on note les résultats. Voici ce qu'on pourrait obtenir :
| Face | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Nombre de fois obtenus | 8 | 12 | 9 | 10 | 11 | 10 |
| Fréquence | 860 ≈ 0,13 | 1260 = 0,2 | 960 = 0,15 | 1060 ≈ 0,17 | 1160 ≈ 0,18 | 1060 ≈ 0,17 |
| Probabilité théorique | 16 ≈ 0,167 pour chaque face | |||||
On voit que les fréquences observées ne sont pas exactement égales à la probabilité théorique 16 ≈ 0,167. Mais elles s'en approchent. Ce n'est pas exactement 16 parce qu'il s'agit d'une expérience réelle, soumise au hasard.
📖 Définitions — Fréquence et probabilité
- La fréquence est ce qu'on observe dans une expérience réelle. Elle dépend des résultats obtenus. On la calcule : fréquence = (nombre de fois où A s'est réalisé) / (nombre total d'essais).
- La probabilité est ce qu'on prédit théoriquement. Elle ne dépend pas des résultats réels, mais de la structure du jeu.
⚠️ Confusion classique à éviter
La probabilité et la fréquence ne sont pas la même chose. La probabilité est un nombre théorique, calculé avant toute expérience. La fréquence est un nombre expérimental, mesuré après l'expérience. On ne doit jamais les confondre, même si elles se ressemblent.
3.2 — La loi des grands nombres
Voici quelque chose de remarquable. Plus on répète une expérience aléatoire un grand nombre de fois, plus la fréquence observée se rapproche de la probabilité théorique. Ce phénomène s'appelle la loi des grands nombres.
💡 Le savais-tu ? — Le pari de Buffon
Au XVIIIe siècle, le naturaliste français Buffon a lancé une pièce de monnaie 4 040 fois pour tester cette idée. Il a obtenu pile 2 048 fois, soit une fréquence de 2 048 / 4 040 ≈ 0,5069. La probabilité théorique est exactement 0,5. La fréquence s'en approche de très près, mais n'est pas parfaitement égale !
Plus récemment, des statisticiens ont lancé une pièce 350 757 fois et obtenu une fréquence de 0,500001. La loi des grands nombres se confirme parfaitement.
Le tableau ci-dessous illustre ce phénomène pour une pièce de monnaie (résultats simulés) :
| Nombre de lancers | Nombre de « pile » | Fréquence de « pile » | Écart avec 0,5 |
|---|---|---|---|
| 10 | 3 | 0,30 | 0,20 |
| 100 | 47 | 0,47 | 0,03 |
| 1 000 | 508 | 0,508 | 0,008 |
| 10 000 | 5 012 | 0,5012 | 0,0012 |
On voit clairement que plus le nombre de lancers augmente, plus l'écart avec la probabilité théorique (0,5) devient petit.
⚠️ Le mythe de la « compensation »
Si on obtient 5 fois de suite « pile », certains pensent que « face » est maintenant « dû » et va forcément sortir. C'est complètement faux ! Chaque lancer est indépendant des précédents. Une pièce n'a pas de mémoire. La probabilité d'obtenir face au prochain lancer reste toujours 12, quoi qu'il se soit passé avant. Ce mythe s'appelle le biais du joueur.
🔗 Pourquoi la suite ?
On maîtrise maintenant le calcul de probabilité pour des situations simples. Dans la partie suivante, on va apprendre à organiser nos calculs pour des situations un peu plus complexes, où plusieurs étapes se succèdent.
4
🌳
Organiser les possibilités
Défi : tu lances une pièce, puis un dé. Combien de résultats différents sont possibles ? Et quelle est la probabilité d'obtenir « pile » et « 6 » ? Sans organisation, on risque d'oublier des cas. L'outil qu'on va utiliser s'appelle un arbre des possibilités.
4.1 — L'arbre des possibilités
Un arbre des possibilités est un schéma en forme d'arbre qui liste toutes les issues d'une expérience en plusieurs étapes. Chaque branche représente une issue possible d'une étape.
✏️ Exemple — Lancer une pièce puis un dé
On lance d'abord une pièce (Pile ou Face), puis un dé (1, 2, 3, 4, 5 ou 6).
Départ
├── Pile
│ ├── 1 → (Pile, 1)
│ ├── 2 → (Pile, 2)
│ ├── 3 → (Pile, 3)
│ ├── 4 → (Pile, 4)
│ ├── 5 → (Pile, 5)
│ └── 6 → (Pile, 6)
└── Face
├── 1 → (Face, 1)
├── 2 → (Face, 2)
├── 3 → (Face, 3)
├── 4 → (Face, 4)
├── 5 → (Face, 5)
└── 6 → (Face, 6)
├── Pile
│ ├── 1 → (Pile, 1)
│ ├── 2 → (Pile, 2)
│ ├── 3 → (Pile, 3)
│ ├── 4 → (Pile, 4)
│ ├── 5 → (Pile, 5)
│ └── 6 → (Pile, 6)
└── Face
├── 1 → (Face, 1)
├── 2 → (Face, 2)
├── 3 → (Face, 3)
├── 4 → (Face, 4)
├── 5 → (Face, 5)
└── 6 → (Face, 6)
Nombre d'issues au total : 2 × 6 = 12 issues.
Chaque issue a la même probabilité : 112.
P(Pile et 6) = 112
P(obtenir un nombre pair) : issues favorables = (Pile,2), (Pile,4), (Pile,6), (Face,2), (Face,4), (Face,6) → 6 issues sur 12 → P = 612 = 12
🛠️ Méthode — Construire un arbre
- Identifier les étapes successives de l'expérience.
- Pour chaque étape, tracer une branche par issue possible.
- Multiplier les nombres de branches à chaque niveau pour obtenir le total des issues.
- Compter les branches qui correspondent à l'événement souhaité.
4.2 — Problèmes de la vie réelle
Les probabilités ne servent pas qu'au jeu. Voici quelques exemples concrets de leur utilisation dans la vraie vie :
| Domaine | Application |
|---|---|
| 🌦️ Météo | Quand la météo dit « 70 % de risque de pluie », cela signifie P(pluie) = 0,70. C'est une probabilité calculée à partir de milliers de données passées. |
| 💊 Médecine | Tester un médicament sur des malades : quelle est la probabilité qu'il guérisse le patient ? Les médecins utilisent les statistiques et les probabilités pour valider un traitement. |
| 🎮 Jeux vidéo | Dans beaucoup de jeux, certains objets se débloquent avec une probabilité précise (ex : 5% de chance d'obtenir une épée légendaire). Les créateurs de jeux calculent ces probabilités soigneusement. |
| 🛡️ Assurances | Une compagnie d'assurance calcule la probabilité qu'une voiture soit accidentée dans l'année pour fixer le prix de l'assurance. |
✏️ Exemple — Problème de concours
Un concours de dessin reçoit 250 participations. Parmi elles, 40 sont sélectionnées pour la finale. Si tu participes, quelle est la probabilité d'être sélectionné(e) ?
P(sélection) = 40250 = 425 = 0,16
Il y a donc 16 chances sur 100 d'être sélectionné(e). Pas énorme, mais pas impossible non plus !
💡 Le savais-tu ? — La loterie
Au jeu de l'Euromillions, la probabilité de gagner le jackpot est exactement 1 sur 139 838 160. L'Euromillions organise 2 tirages par semaine, soit 104 tirages par an. Si tu jouais à chaque tirage, il te faudrait statistiquement 139 838 160 ÷ 104 ≈ 1,3 million d'années pour gagner. C'est pour ça que les jeux de hasard coûtent toujours plus qu'ils ne rapportent en moyenne !
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📝
Ce que je retiens
🌟 Résumé — Les 7 points essentiels
- Une expérience aléatoire a des résultats impossibles à prévoir, mais tous les résultats possibles (les issues) sont connus à l'avance.
- L'ensemble des issues s'appelle l'univers Ω. Un groupe d'issues s'appelle un événement.
- La probabilité P(A) mesure les chances qu'un événement A se réalise. C'est un nombre entre 0 et 1.
- Si les issues sont équiprobables : P(A) = (nombre d'issues favorables) ÷ (nombre total d'issues).
- La somme des probabilités de toutes les issues de l'univers est toujours égale à 1.
- La fréquence (ce qu'on observe) se rapproche de la probabilité (ce qu'on prédit) quand le nombre d'essais est grand : c'est la loi des grands nombres.
- Une pièce ou un dé n'a pas de mémoire : les résultats passés n'influencent pas les résultats futurs.
📚 Vocabulaire complet du chapitre
| Aléatoire | Qui dépend du hasard et ne peut pas être prédit. |
| Univers (Ω) | Ensemble de toutes les issues possibles d'une expérience aléatoire. |
| Issue | Un résultat possible unique. |
| Événement | Ensemble d'issues, souvent décrit par une condition. |
| Équiprobable | Se dit d'issues qui ont toutes la même probabilité. |
| Probabilité P(A) | Nombre entre 0 et 1 qui mesure les chances qu'un événement A se réalise. |
| Fréquence | Résultat observé lors d'une expérience réelle : (nombre de succès) / (nombre d'essais). |
| Loi des grands nombres | Plus on répète une expérience, plus la fréquence se rapproche de la probabilité. |
| Arbre des possibilités | Schéma listant toutes les issues d'une expérience à plusieurs étapes. |
| Événement impossible | Événement de probabilité 0 (ne peut jamais se réaliser). |
| Événement certain | Événement de probabilité 1 (se réalise toujours). |
✏️
Exercices d'entraînement
Les corrections se trouvent à la page suivante. Essaie de faire chaque exercice sans regarder les corrections avant d'avoir une réponse. ⭐ Facile ⭐⭐ Moyen ⭐⭐⭐ Difficile
Exercice 1 ⭐ Facile
On lance un dé équilibré à 6 faces.
- Liste toutes les issues de l'univers Ω.
- Calcule P(obtenir 3).
- Calcule P(obtenir un nombre strictement supérieur à 4).
- Calcule P(obtenir un nombre impair).
- Vérifie que P(obtenir un nombre impair) + P(obtenir un nombre pair) = 1.
Exercice 2 ⭐ Facile
Un sac contient 5 billes rouges, 3 billes bleues et 2 billes jaunes. On tire une bille au hasard. Toutes les billes sont de même taille.
- Combien d'issues y a-t-il au total ?
- Calcule P(bille rouge).
- Calcule P(bille bleue ou bille jaune).
- Quelle est la probabilité de ne pas tirer de bille rouge ?
- La somme de P(rouge) + P(bleu) + P(jaune) est-elle bien égale à 1 ? Vérifie-le.
Exercice 3 ⭐⭐ Moyen
Une roue de jeu est divisée en 10 secteurs égaux numérotés de 1 à 10.
- Calcule P(obtenir un multiple de 3).
- Calcule P(obtenir un nombre premier). (Rappel : un nombre premier est divisible uniquement par 1 et par lui-même. Les nombres premiers entre 1 et 10 sont : 2, 3, 5, 7.)
- Calcule P(obtenir un nombre supérieur ou égal à 8).
- Quel événement est plus probable : obtenir un multiple de 2 ou obtenir un multiple de 3 ? Justifie.
Exercice 4 ⭐⭐ Moyen
Lors d'un jeu, Lucas a lancé un dé 60 fois. Il a noté les résultats dans le tableau suivant :
| Face | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Nombre de fois | 9 | 11 | 8 | 13 | 7 | 12 |
- Calcule la fréquence d'apparition de chaque face. Donne les résultats sous forme décimale arrondie au centième.
- Quelle est la probabilité théorique d'obtenir chaque face ?
- Les fréquences correspondent-elles exactement aux probabilités théoriques ? Explique pourquoi.
- Si Lucas avait lancé ce dé 6 000 fois, penses-tu que les fréquences seraient plus proches ou plus éloignées des probabilités théoriques ? Justifie.
Exercice 5 ⭐⭐ Moyen
On choisit au hasard un jour de la semaine (lundi, mardi, mercredi, jeudi, vendredi, samedi, dimanche).
- Calcule P(tomber un jour de week-end).
- Calcule P(tomber un jour de semaine).
- Calcule P(tomber un jour commençant par la lettre « m »).
- Vrai ou faux : P(tomber un week-end) + P(tomber un jour de semaine) = 1 ? Justifie.
Exercice 6 ⭐⭐⭐ Difficile
On lance une pièce deux fois de suite.
- Construis l'arbre des possibilités de cette expérience.
- Combien y a-t-il d'issues au total ?
- Calcule P(obtenir deux fois pile).
- Calcule P(obtenir au moins une fois face).
- Calcule P(obtenir exactement une fois pile).
Exercice 7 — Bonus réflexion ⭐⭐⭐ Difficile
Emma dit : « Je viens de lancer une pièce 4 fois et j'ai obtenu pile les 4 fois. Donc au 5e lancer, j'ai sûrement plus de chances d'obtenir face. »
- Quelle erreur fait Emma ? Comment s'appelle ce raisonnement erroné ?
- Quelle est la véritable probabilité d'obtenir face au 5e lancer ? Justifie.
- Quelle est la probabilité d'obtenir pile exactement 5 fois de suite, si on recommence une nouvelle série de 5 lancers depuis le début ? (Utilise un raisonnement ou un calcul.)
✅
Corrections des exercices
Lis les corrections seulement après avoir fait les exercices par toi-même. En cas d'erreur, essaie de comprendre où tu t'es trompé(e) avant de passer à l'exercice suivant.
Exercice 1
1. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} — 6 issues.
2. P(3) = 16 ≈ 0,167
3. Nombres strictement supérieurs à 4 : {5, 6} → P = 26 = 13 ≈ 0,333
4. Nombres impairs : {1, 3, 5} → P = 36 = 12 = 0,5
5. P(impair) + P(pair) = 12 + 12 = 1 ✓
Exercice 2
1. Total : 5 + 3 + 2 = 10 billes.
2. P(rouge) = 510 = 12 = 0,5
3. P(bleue ou jaune) = (3+2)/10 = 510 = 12 = 0,5
4. P(pas rouge) = 1 − P(rouge) = 1 − 12 = 12 = 0,5. (Ou directement : 5 billes non rouges sur 10.)
5. P(rouge) + P(bleu) + P(jaune) = 510 + 310 + 210 = 1010 = 1 ✓
Exercice 3
1. Multiples de 3 entre 1 et 10 : {3, 6, 9} → P = 310 = 0,3
2. Nombres premiers entre 1 et 10 : {2, 3, 5, 7} → P = 410 = 25 = 0,4. Attention : 1 n'est pas un nombre premier !
3. Nombres ≥ 8 : {8, 9, 10} → P = 310 = 0,3
4. Multiples de 2 : {2, 4, 6, 8, 10} → P = 510 = 0,5. Multiples de 3 : P = 310 = 0,3. Donc obtenir un multiple de 2 est plus probable (0,5 > 0,3).
Exercice 4
1. Fréquences (sur 60 lancers) : face 1 : 960 = 0,15 ; face 2 : 1160 ≈ 0,18 ; face 3 : 860 ≈ 0,13 ; face 4 : 1360 ≈ 0,22 ; face 5 : 760 ≈ 0,12 ; face 6 : 1260 = 0,20.
2. Probabilité théorique de chaque face : 16 ≈ 0,167.
3. Non, les fréquences ne correspondent pas exactement. C'est normal : 60 lancers, c'est une expérience réelle soumise au hasard. Les résultats varient.
4. Avec 6 000 lancers, les fréquences seraient plus proches des probabilités théoriques. C'est la loi des grands nombres : plus on répète, plus la fréquence se rapproche de la probabilité.
Exercice 5
1. Week-end = {samedi, dimanche} → P = 27 ≈ 0,286
2. Jours de semaine = {lundi, mardi, mercredi, jeudi, vendredi} → P = 57 ≈ 0,714
3. Jours commençant par « m » : {mardi, mercredi} → P = 27 ≈ 0,286
4. Vrai : P(week-end) + P(semaine) = 27 + 57 = 77 = 1 ✓ Ces deux événements couvrent tous les jours de la semaine, sans chevauchement.
Exercice 6
1. Arbre : 1er lancer → Pile ou Face. Pour chaque branche : 2e lancer → Pile ou Face. Issues : (P,P), (P,F), (F,P), (F,F).
2. 4 issues au total.
3. P(deux fois pile) = P(P,P) = 14 = 0,25
4. « Au moins une fois face » = tout sauf (P,P) → issues = {(P,F),(F,P),(F,F)} → P = 34 = 0,75. Ou : P = 1 − P(deux fois pile) = 1 − 14 = 34.
5. « Exactement une fois pile » = {(P,F),(F,P)} → P = 24 = 12 = 0,5
Exercice 7 — Bonus
1. Emma fait l'erreur du biais du joueur (ou « erreur de Monte-Carlo »). Elle croit que les résultats passés influencent les résultats futurs. Mais chaque lancer est indépendant des autres. La pièce n'a pas de mémoire.
2. La probabilité d'obtenir face au 5e lancer est toujours 12, quoi qu'il se soit passé avant.
3. Si on recommence 5 lancers depuis le début, chaque lancer est indépendant avec P(pile) = 12. La probabilité d'obtenir pile 5 fois de suite est : P = 12 × 12 × 12 × 12 × 12 = 132. En décimal : 1 ÷ 32 = 0,03125, soit un peu plus de 3 %. C'est peu probable mais pas impossible. Et surtout, cela n'a aucun lien avec les 4 piles obtenus par Emma auparavant : ce sont deux expériences totalement indépendantes.
Cours de Mathématiques — Les Probabilités — Cycle 3 (CM2 / 6ème) | Tous droits réservés | Imprimez en A4 recto-verso