Les matrices
Leçon 2 - Les matrices - transformer, tourner, retourner
Transformer les matrices, les tourner, les retourner, ce que cela signifie graphiquement, et le secret de la recette.
Les matrices, tome 2
Transformer, tourner, retourner - et le secret de la recette
Mathématiques - La suite du premier coursCe que nous allons découvrir
- Les transformations qui ne compliquent rien
- Pour tourner et retourner, agrandissons le terrain
- Le quart de tour et le demi-tour
- Le secret enfin dévoilé : enchaîner, c'est multiplier
À la fin : un lexique, un quiz, des exercices de réflexion et tous les corrigés.
Dans le premier cours, nous avons appris ce qu'est une matrice, comment l'additionner, la multiplier par un nombre, et nous avons même découvert la surprenante recette « ligne par colonne ». À la toute fin, une matrice avait fait basculer un triangle dans un miroir. Ce tour de magie n'était qu'un début. Dans ce deuxième tome, nous allons faire bien plus : agrandir une figure, la retourner, la faire tourner d'un quart de tour, puis enchaîner ces gestes. Et surtout, nous percerons enfin le secret de cette fameuse recette de multiplication. Une étape à la fois, sans nous presser.
🔍 Les transformations qui ne compliquent rien
Reprenons l'idée centrale du premier tome : une matrice de format 2 × 2, appliquée aux deux coordonnées d'un point rangées en colonne, déplace ce point. En agissant sur chacun des sommets d'une figure, la matrice la transforme tout entière. Commençons par deux transformations très rassurantes, qui ne réservent aucune difficulté nouvelle.
Il existe une matrice un peu particulière, appelée matrice identité, qui laisse chaque point exactement à sa place. La voici : 1001. Il s'agit de l'identité de format 2 × 2, celle qui agit sur les points du plan. Il existe en fait une matrice identité pour chaque format carré, ayant autant de lignes que de colonnes (2 × 2, 3 × 3, et ainsi de suite) : elle porte toujours des 1 sur la diagonale et des 0 partout ailleurs. C'est, pour les matrices, l'équivalent du nombre 1 : de même que multiplier par 1 ne change pas un nombre, appliquer la matrice identité ne change pas une figure.
Vérifions-le sur le point de coordonnées (3 ; 2), en appliquant la recette ligne par colonne du premier tome, une coordonnée à la fois.
Le point (3 ; 2) reste donc en (3 ; 2) : il n'a pas bougé d'un cheveu. Comme tous les points restent en place, la figure est inchangée. Cette matrice paisible nous sera précieuse plus loin.
Agrandir une figure
Pour agrandir une figure deux fois, nous utilisons la matrice 2002. Elle multiplie chaque coordonnée par 2 : un point deux fois plus loin de l'origine dans chaque direction, donc une figure deux fois plus grande. Pour agrandir trois fois, nous mettrions des 3 à la place des 2.
Appliquons-la au point (2 ; 1). Le calcul de la coordonnée du haut donne :
Faisons-le pour les trois sommets d'un petit triangle : A(1 ; 1), B(2 ; 1) et C(1 ; 2). Chaque coordonnée double, et nous obtenons A'(2 ; 2), B'(4 ; 2) et C'(2 ; 4). Le triangle garde exactement la même forme ; il est simplement deux fois plus grand.
Au cinéma, une minuscule image sur la pellicule est projetée, agrandie des centaines de fois, sur un écran géant. Tant que toutes les distances grandissent dans la même proportion, l'image reste nette et fidèle : c'est exactement ce que fait la matrice qui agrandit. Si l'on étirait davantage dans une seule direction, en revanche, les personnages paraîtraient amincis ou élargis.
Tu te souviens d'Albrecht Dürer, l'artiste du carré magique du premier tome ? En 1528, il publia un ouvrage entier consacré aux proportions du corps humain. Pour étudier les visages, il les dessinait sur un quadrillage, puis rapprochait ou écartait les lignes de la grille : ils s'allongeaient, s'élargissaient, se déformaient. Sans le savoir, Dürer manipulait déjà des transformations géométriques, près de trois siècles avant que les matrices ne soient inventées pour les décrire.
- La matrice identité 1001 laisse chaque figure exactement en place.
- La matrice 2002 agrandit une figure deux fois ; avec des 3, elle l'agrandit trois fois.
- Dans les deux cas, nous transformons une figure en transformant chacun de ses sommets.
🪞 Pour tourner et retourner, agrandissons le terrain
Jusqu'ici, tous nos points vivaient dans un coin du quadrillage, là où les deux coordonnées sont positives. Mais pour retourner une figure comme dans un miroir, ou la faire tourner, ce coin ne suffit plus : il faut un terrain qui s'étende aussi à gauche du zéro et en dessous. Avant la moindre transformation nouvelle, agrandissons donc notre terrain de jeu.
À gauche du zéro et en dessous, les nombres deviennent négatifs : ils s'écrivent avec un petit signe « moins », comme -1, -2, -3. Sur le quadrillage, l'axe horizontal se prolonge vers la gauche et l'axe vertical vers le bas. Un point se repère toujours de la même façon, par ses deux coordonnées : la première dit de combien aller à droite (positif) ou à gauche (négatif), la seconde de combien monter (positif) ou descendre (négatif).
Une image pour bien sentir les négatifs : pense à un ascenseur. Le rez-de-chaussée est le 0, les étages sont positifs (1, 2, 3), et les sous-sols sont négatifs (-1, -2). Descendre au deuxième sous-sol, c'est aller à l'étage -2. Voici trois points placés sur le plan complet :
Les nombres négatifs nous semblent naturels, mais ils ont longtemps dérangé les mathématiciens d'Europe, qui refusaient un nombre « plus petit que rien ». C'est en Inde, en 628 après Jésus-Christ, que le savant Brahmagupta donna le premier des règles claires pour les manier. Son idée était concrète : il voyait les nombres positifs comme des fortunes et les négatifs comme des dettes. Ôter une dette revient à s'enrichir, expliquait-il déjà ; et c'est toujours ainsi qu'on les comprend aujourd'hui.
Le miroir par rapport à l'axe vertical
Voici notre première vraie nouveauté, et c'est la plus douce qui soit : retourner une figure comme dans un miroir posé le long de l'axe vertical. Un point situé à droite se retrouve à la même hauteur, mais à gauche.
Le miroir par rapport à l'axe vertical s'obtient avec la matrice -1001. Un seul petit signe « moins » y apparaît. Elle change le signe de la première coordonnée et laisse la seconde tranquille : le point (x ; y) devient (-x ; y).
Vérifions sur le point B(3 ; 1), coordonnée par coordonnée.
Le point B(3 ; 1) devient donc B'(-3 ; 1) : même hauteur, passé de l'autre côté. Faisons-le pour tout le triangle A(1 ; 1), B(3 ; 1), C(1 ; 2).
Les lettres b et d, ou p et q, sont presque des reflets l'une de l'autre dans un miroir vertical. C'est l'une des raisons pour lesquelles elles se confondent si facilement quand on apprend à lire et à écrire : notre cerveau, habitué à reconnaître un objet même retourné, hésite devant ces formes symétriques.
- Vers la gauche et vers le bas, les coordonnées deviennent négatives ; le plan s'étend alors dans les quatre directions.
- Le miroir par rapport à l'axe vertical, de matrice -1001, change (x ; y) en (-x ; y).
- Nous retournons une figure en retournant chacun de ses sommets.
🔄 Le quart de tour et le demi-tour
Maintenant que notre terrain s'étend dans les quatre directions, nous pouvons faire tourner une figure autour de l'origine, ce point central où se croisent les deux axes. Commençons par le quart de tour.
Un quart de tour vers la gauche, c'est-à-dire dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, s'obtient avec la matrice 0-110. Elle transforme le point (x ; y) en (-y ; x). Remarque qu'elle ne contient que des 0, des 1 et des -1 : aucune virgule, aucun calcul compliqué.
Pour bien voir le mouvement, observons deux repères : le point (1 ; 0), posé sur l'axe horizontal vers la droite, vient se placer en (0 ; 1), sur l'axe vertical vers le haut. La figure a bien pivoté d'un quart de tour. Appliquons maintenant la matrice au point B(3 ; 1), coordonnée par coordonnée.
Le point B(3 ; 1) devient B'(-1 ; 3). En faisant de même pour les trois sommets, le triangle bascule d'un quart de tour :
Le demi-tour
Si nous tournons de deux quarts de tour, nous faisons un demi-tour. Sa matrice est -100-1 : elle change les deux signes à la fois, transformant (x ; y) en (-x ; -y). Chaque point se retrouve de l'autre côté de l'origine, à la même distance.
| Transformation | Matrice | Effet sur (x ; y) |
|---|---|---|
| Identité | 1001 | (x ; y) |
| Agrandir deux fois | 2002 | (2x ; 2y) |
| Miroir (axe vertical) | -1001 | (-x ; y) |
| Quart de tour | 0-110 | (-y ; x) |
| Demi-tour | -100-1 | (-x ; -y) |
Dans les jeux vidéo et chez les robots, ces rotations sont calculées en permanence. Quand un personnage tourne la tête, quand le bras d'un robot pivote pour saisir un objet, la machine multiplie des matrices de rotation des millions de fois par seconde pour savoir où se trouve désormais chaque point.
En 1963, un jeune chercheur américain, Ivan Sutherland, créa un programme nommé Sketchpad. Pour la première fois, on pouvait dessiner une figure directement sur l'écran d'un ordinateur, à l'aide d'un crayon lumineux, puis la déplacer et l'agrandir à volonté. C'était l'ancêtre lointain de tous les logiciels de dessin et de tous les jeux qui, aujourd'hui, font tourner et retourner des figures grâce aux matrices.
- Le quart de tour vers la gauche, de matrice 0-110, change (x ; y) en (-y ; x).
- Le demi-tour, de matrice -100-1, change (x ; y) en (-x ; -y).
- Ces matrices ne contiennent que des 0, des 1 et des -1.
🔗 Le secret enfin dévoilé : enchaîner, c'est multiplier
Nous y voici. Dans le premier tome, la recette « ligne par colonne » pour multiplier deux matrices semblait tomber du ciel. Ce chapitre en révèle la raison d'être, et elle est magnifique : multiplier deux matrices, c'est enchaîner leurs deux transformations.
Faisons deux gestes l'un après l'autre
Prenons notre triangle A(1 ; 1), B(3 ; 1), C(1 ; 2) et faisons-lui subir deux transformations à la suite. D'abord un quart de tour ; nous obtenons un triangle intermédiaire, dessiné en violet.
Ensuite, appliquons à ce triangle violet le miroir par rapport à l'axe vertical. Il revient du côté droit, en rouge : c'est le résultat final des deux gestes.
Une seule matrice pour les deux gestes
Et si une seule matrice pouvait faire d'un coup ce que nos deux gestes ont fait en deux temps ? Cette matrice existe : c'est le produit de la matrice du miroir par la matrice du quart de tour, calculé avec la recette ligne par colonne du premier tome. Comme nous faisons d'abord le quart de tour puis le miroir, nous écrivons la matrice du miroir à gauche. Calculons deux de ses cases.
En terminant les deux dernières cases de la même manière, nous obtenons la matrice produit 0110. Or, c'est exactement la matrice d'échange du premier tome, celle qui reflète une figure dans un miroir posé sur la diagonale ! Appliquons-la directement au triangle de départ :
Le résultat tombe pile sur le triangle rouge obtenu tout à l'heure en deux gestes ! Une seule multiplication de matrices a fait le travail de deux transformations enchaînées. Voilà le secret : la recette ligne par colonne est faite exactement pour cela. C'est elle qui combine deux transformations en une seule, et c'est pour cette raison que les mathématiciens l'ont choisie.
Attention : faire le quart de tour puis le miroir ne donne pas la même figure que le miroir puis le quart de tour. Reprenons le même triangle, mais dans l'autre ordre : d'abord le miroir, ensuite le quart de tour.
Cette fois, le triangle n'atterrit pas du tout au même endroit que tout à l'heure. Et de fait, les deux produits de matrices ne sont pas les mêmes : « quart de tour puis miroir » donne 0110, tandis que « miroir puis quart de tour » donne 0-1-10. C'est l'explication de la non-commutativité rencontrée dans le premier tome : avec les matrices, l'ordre de la multiplication change le résultat, parce que l'ordre des gestes change la figure.
Le 16 octobre 1843, le mathématicien irlandais William Rowan Hamilton se promenait avec son épouse le long d'un canal de Dublin lorsqu'il trouva soudain un nouveau type de nombres où, pour la première fois, l'ordre de la multiplication changeait le résultat. Si transporté par sa découverte, il en grava aussitôt la formule, au couteau, dans la pierre du pont de Broom. C'était bien avant que l'on n'écrive la même surprise avec des matrices : l'ordre, parfois, compte vraiment.
Tu vis cela tous les jours sans y penser : mettre tes chaussettes puis tes chaussures n'a rien à voir avec mettre tes chaussures puis tes chaussettes ! Beaucoup d'actions de la vie ne se commutent pas, et les transformations géométriques en font partie.
- Enchaîner deux transformations revient à multiplier leurs deux matrices, avec la recette ligne par colonne.
- La matrice de la première transformation s'écrit à droite, celle de la seconde à gauche.
- L'ordre compte : modifier l'ordre des gestes change la figure, donc le produit des matrices.
- C'est la vraie raison d'être de la recette « ligne par colonne » du premier tome.
📖 Le lexique des mots importants
- Transformation
- Déplacement organisé qui envoie chaque point d'une figure vers un nouveau point.
- Matrice identité
- Matrice 1001 qui laisse chaque figure exactement à sa place.
- Agrandissement
- Transformation qui multiplie toutes les distances par un même nombre, sans changer la forme.
- Nombre négatif
- Nombre plus petit que zéro, noté avec un signe « moins », qui repère les points à gauche de l'origine ou en dessous.
- Symétrie (miroir)
- Transformation qui retourne une figure comme un reflet dans un miroir.
- Rotation
- Transformation qui fait tourner une figure autour d'un point. Un quart de tour, un demi-tour en sont des exemples.
- Origine
- Le point central du plan, de coordonnées (0 ; 0), où se croisent les deux axes.
- Composition
- Le fait d'enchaîner deux transformations ; elle correspond au produit des deux matrices.
- Non-commutativité
- Le fait que l'ordre d'une multiplication change le résultat : avec les matrices, multiplier dans un sens ou dans l'autre ne donne pas toujours la même réponse.
❓ Le petit quiz
Réponds sans regarder le cours, puis vérifie avec les corrigés à la fin.
🧠 Exercices de réflexion
🔑 Les corrigés
- b) l'identité.
- a) la matrice 3003 (des 3 sur la diagonale).
- c) (-2 ; 5) : la première coordonnée change de signe, la seconde reste.
- a) (-2 ; -3) : les deux coordonnées changent de signe.
- b) multiplier leurs matrices.
- b) non, pas toujours (l'ordre compte).
- Chaque coordonnée double : 2×3 = 6 et 2×2 = 4. L'image est le point (6 ; 4).
- La première coordonnée change de signe, la seconde reste : (4 ; -1) devient (-4 ; -1).
- Coordonnée du haut : 0×2 + (-1)×1 = -1. Coordonnée du bas : 1×2 + 0×1 = 2. L'image est (-1 ; 2).
- Ligne par colonne : L1C1 = 2×0 + 0×1 = 0 ; L1C2 = 2×1 + 0×0 = 2 ; L2C1 = 0×0 + 2×1 = 2 ; L2C2 = 0×1 + 2×0 = 0. Le produit est 0220. Cette transformation reflète la figure par rapport à la diagonale, puis l'agrandit deux fois.
Les matrices, tome 2 - Cours de mathématiques illustré. Toutes les valeurs numériques, dates et noms propres ont été vérifiés.