Les matrices
Leçon 1 - Les matrices - un tableau de nombres aux pouvoirs surprenants
Un tableau de nombres aux pouvoirs surprenants
Les matrices
Un tableau de nombres aux pouvoirs surprenants
MathématiquesCe que nous allons découvrir
- Qu'est-ce qu'une matrice ?
- Additionner deux matrices
- Multiplier une matrice par un nombre, et le secret des images
- Multiplier deux matrices : une recette qui surprend
À la fin : un lexique, un petit quiz, des exercices de réflexion et tous les corrigés.
Tu sais déjà ranger des nombres dans un tableau : ton emploi du temps, un calendrier, une grille de bataille navale. Eh bien, en mathématiques, un tableau de nombres bien rangé porte un nom savant et possède des pouvoirs étonnants. Il sert à éclaircir une photographie, à faire tourner les personnages d'un jeu vidéo et même à ranger des étoiles. Ce nom, c'est matrice. Partons à sa découverte, une étape à la fois.
🔢 Qu'est-ce qu'une matrice ?
Imagine que nous voulions noter les buts marqués par deux équipes lors de trois matchs. Plutôt que d'écrire une longue phrase, nous rangeons les nombres dans un tableau : une équipe par ligne, un match par colonne. Ce tableau de nombres, débarrassé de ses titres, est exactement ce que les mathématiciens appellent une matrice.
Une matrice est un tableau de nombres rangés en lignes (de gauche à droite) et en colonnes (de haut en bas). Chaque nombre du tableau s'appelle un coefficient.
Nous entourons une matrice de deux grands crochets, comme ceci :
Pour décrire une matrice, nous indiquons d'abord son nombre de lignes, puis son nombre de colonnes : c'est son format. La matrice ci-dessus possède 2 lignes et 3 colonnes : nous disons qu'elle est de format « 2 par 3 », ce que nous écrivons 2 × 3. L'ordre est important, et nous le gardons toujours le même : la ligne d'abord, la colonne ensuite. C'est la même habitude qu'au théâtre, où ta place se lit « rang 7, fauteuil 12 » : d'abord la rangée, ensuite le numéro.
Repérer une case
Chaque coefficient occupe une case bien précise, que nous repérons par sa ligne puis sa colonne. Dans notre matrice, le coefficient situé à la ligne 2, colonne 1 vaut 4. Celui de la ligne 1, colonne 3 vaut 2. Toujours la ligne, puis la colonne.
Tu manipules des matrices sans le savoir ! Un emploi du temps, un bulletin de notes ou une grille de morpion sont des tableaux de nombres ou de cases rangés en lignes et en colonnes.
Attention à un petit piège, toutefois : dans un tableur (comme celui d'un ordinateur), une case se nomme par sa colonne d'abord, puis sa ligne, par exemple « B3 ». C'est l'inverse de l'habitude mathématique. Deux domaines, deux conventions : il faut savoir dans lequel nous nous trouvons.
Le mot « matrice » a été choisi en 1850 par le mathématicien anglais James Joseph Sylvester. En latin, ce mot désignait ce qui sert de moule, ce qui engendre ; Sylvester l'a employé parce qu'à partir d'un tel tableau, l'on peut faire naître de nombreux calculs.
Huit ans plus tard, en 1858, son ami Arthur Cayley publia un long texte intitulé « Mémoire sur la théorie des matrices ». Il y expliqua comment additionner et multiplier ces tableaux. C'est ce texte qui a véritablement transformé la matrice en un outil mathématique à part entière.
- Une matrice est un tableau de nombres rangés en lignes et en colonnes.
- Chaque nombre s'appelle un coefficient.
- Le format se lit « lignes × colonnes » : la ligne d'abord, la colonne ensuite.
- Pour repérer une case, nous donnons sa ligne, puis sa colonne.
➕ Additionner deux matrices
Maintenant que nous savons ranger des nombres dans une matrice, apprenons à en additionner deux. La règle est d'une simplicité rassurante : nous ajoutons les coefficients qui occupent la même case.
Pour additionner deux matrices, nous additionnons leurs coefficients case par case : la case en haut à gauche avec la case en haut à gauche, et ainsi de suite.
Cela n'est possible que si les deux matrices ont exactement le même format : le même nombre de lignes et le même nombre de colonnes. Sinon, certaines cases n'auraient pas de partenaire, et l'addition n'aurait aucun sens.
Un exemple match par match
Reprenons nos deux équipes. Lors de la première mi-temps de trois matchs, elles marquent les buts rangés dans la première matrice ; lors de la seconde mi-temps, ceux de la seconde matrice. Pour connaître le total de buts de chaque match, nous allons remplir une troisième matrice, une case à la fois. Avançons tout doucement.
Première case. Commençons par la case tout en haut à gauche. Dans la première matrice, elle contient 3 ; dans la seconde, à la même place, elle contient 2. Nous regardons uniquement ces deux cases-là, nous oublions toutes les autres pour l'instant, et nous les additionnons : 3 + 2 = 5. Ce 5 prend place dans la case en haut à gauche du résultat.
Deuxième case. Le geste est toujours le même, où que nous soyons dans le tableau. Descendons d'une ligne, toujours dans la première colonne. La première matrice y contient 4, la seconde y contient 3 : nous additionnons, 4 + 3 = 7. Ce 7 prend place juste en dessous du 5.
Toutes les cases. Il nous reste à répéter ce même geste pour les quatre cases qui n'ont pas encore de réponse. À chaque fois, nous prenons les deux cases de même position et nous les additionnons. Une fois les six cases remplies, voici l'addition complète :
Le tableau ci-dessous récapitule les six additions, une par case. Tu peux vérifier que chacune se calcule toute seule, sans jamais se soucier de ses voisines.
| Match 1 | Match 2 | Match 3 | |
|---|---|---|---|
| Équipe A | 3 + 2 = 5 | 5 + 0 = 5 | 2 + 4 = 6 |
| Équipe B | 4 + 3 = 7 | 1 + 5 = 6 | 6 + 1 = 7 |
Bien avant que le mot « matrice » n'existe, des tableaux de nombres fascinaient déjà les hommes : les carrés magiques. Dans un carré magique, chaque ligne, chaque colonne et chaque diagonale donnent la même somme. Le plus ancien connu, le Lo Shu chinois, est un carré 3 × 3 dont toutes les sommes valent 15.
En 1514, l'artiste allemand Albrecht Dürer cacha un carré magique 4 × 4 dans sa gravure intitulée « Melencolia I ». Toutes ses sommes valent 34. Et il y glissa une signature : les deux cases du milieu de la dernière ligne portent 15 et 14, soit l'année 1514 !
| 16 | 3 | 2 | 13 |
| 5 | 10 | 11 | 8 |
| 9 | 6 | 7 | 12 |
| 4 | 15 | 14 | 1 |
Le carré de Dürer. Additionne une ligne pour vérifier : 16 + 3 + 2 + 13 = 34.
Les astronomes additionnent des matrices pour photographier le ciel. Une seule photographie d'une étoile lointaine est souvent pâle et brouillée par de petits parasites. En prenant plusieurs photographies de la même région du ciel et en additionnant leurs images, case par case, les étoiles faibles ressortent peu à peu et les parasites s'atténuent. Chaque image étant une matrice de nombres, ils additionnent bel et bien des matrices.
- Nous additionnons deux matrices en ajoutant leurs coefficients case par case.
- Les deux matrices doivent avoir le même format, sinon l'addition est impossible.
- Le résultat est une matrice du même format que les deux matrices de départ.
🖼️ Multiplier par un nombre, et le secret des images
Après l'addition, voici une autre opération facile : multiplier une matrice par un nombre. Et nous allons voir qu'elle cache un secret magnifique : c'est ainsi qu'un ordinateur éclaircit une photographie.
Pour multiplier une matrice par un nombre, nous multiplions chacun de ses coefficients par ce nombre. Aucune case n'est oubliée.
Le secret : une image est une matrice
Sur un écran, une image en noir et blanc est faite de minuscules carrés appelés pixels. Chaque pixel possède une clarté, que l'ordinateur range dans un nombre : 0 pour le noir le plus profond, et plus le nombre est grand, plus le pixel est clair, jusqu'au blanc. Une image n'est donc rien d'autre qu'une grande matrice, où chaque coefficient indique la clarté d'un pixel.
Plus le nombre est grand, plus la case est claire. (Pour économiser l'encre, cette échelle s'arrête au gris moyen ; dans un véritable écran, elle descend jusqu'au noir, qui vaut 0.)
Mais pourquoi 255, ce nombre qui semble si étrange ? Voici la raison, et elle est belle. Un ordinateur ne connaît au fond que deux états, comme un interrupteur : éteint ou allumé, que nous notons 0 et 1. Pour décrire la clarté d'un pixel, il regroupe huit de ces interrupteurs. Avec huit interrupteurs qui valent chacun 0 ou 1, on peut former exactement 256 combinaisons différentes. On les numérote de 0 à 255 : cela fait bien 256 valeurs en tout. Voilà pourquoi la clarté d'un pixel va de 0 à 255, sans jamais dépasser.
Une image en couleur cache, elle, trois matrices superposées au lieu d'une seule : une pour la quantité de rouge de chaque pixel, une pour le vert, une pour le bleu. En mélangeant ces trois clartés, l'écran peut afficher des millions de teintes. Chacune de ces trois matrices suit la même règle : ses coefficients vont de 0 à 255. Une photographie de ton téléphone, c'est donc trois immenses matrices de nombres qui voyagent ensemble.
Pour éclaircir une image, l'ordinateur multiplie sa matrice par un nombre plus grand que 1, par exemple 2 : chaque clarté double, donc chaque pixel devient deux fois plus clair. Voici une petite image de 3 × 3 pixels, plutôt sombre, que nous multiplions par 2 :
Chaque case a simplement doublé : 40 devient 80, 90 devient 180, et ainsi de suite jusqu'à 125 qui devient 250. Toutes les clartés ont grandi dans la même proportion, donc l'image entière s'est éclaircie, sans changer ce qu'elle représente. C'est exactement ce que fait un logiciel de photographie quand tu pousses le réglage de luminosité.
Que se passe-t-il si une clarté est déjà grande ? Prenons un pixel de clarté 200 et multiplions par 2 : le calcul donnerait 400. Or 400 dépasse 255, qui est la clarté maximale, le blanc le plus pur. Un pixel ne peut pas devenir « plus blanc que blanc ». L'ordinateur garde donc la valeur la plus haute autorisée, 255 : nous disons que la clarté est plafonnée. C'est une vraie règle des images, que nous préférons t'expliquer plutôt que de la cacher.
La toute première image numérique de l'histoire fut créée en 1957 par l'informaticien américain Russell Kirsch. Il numérisa la photographie de son fils Walden, alors âgé de trois mois. L'image mesurait 176 pixels sur 176, soit 30 976 pixels en tout : une matrice géante.
Une précision honnête : cette première image ne contenait que deux clartés, le noir et le blanc, sans gris intermédiaire. Ce n'est qu'en combinant plusieurs numérisations que l'équipe parvint, ensuite, à obtenir de véritables nuances de gris.
Bien avant les ordinateurs, on savait déjà agrandir un dessin en multipliant les distances. Vers 1603, l'astronome Christoph Scheiner mit au point un instrument articulé, le pantographe, pour recopier ses dessins en plus grand. Si l'on règle l'appareil pour multiplier les distances par 2, le dessin obtenu est deux fois plus grand. C'est exactement l'idée de la multiplication par un nombre : tout grandit dans la même proportion.
- Multiplier une matrice par un nombre, c'est multiplier chacun de ses coefficients par ce nombre.
- Une image en noir et blanc est une matrice : chaque coefficient donne la clarté d'un pixel.
- Multiplier l'image par un nombre plus grand que 1 l'éclaircit, mais la clarté ne dépasse jamais 255 : elle est plafonnée.
🪞 Multiplier deux matrices : une recette qui surprend
Nous voici au chapitre le plus étonnant. Additionner deux matrices était facile ; multiplier une matrice par un nombre aussi. Tu t'attends sans doute à ce que multiplier deux matrices entre elles se fasse également case par case. C'est précisément là que les mathématiques nous réservent une surprise.
On pourrait croire que pour multiplier deux matrices, il faut multiplier les cases qui se correspondent, comme pour l'addition. Ce n'est pas la règle des mathématiciens. La vraie multiplication des matrices suit une recette différente, que voici. Retiens bien : ce n'est pas « case par case ».
Pour obtenir la case d'une ligne donnée et d'une colonne donnée dans le résultat, nous prenons cette ligne de la première matrice et cette colonne de la seconde. Nous multiplions leurs nombres deux à deux, dans l'ordre, puis nous additionnons les produits obtenus.
Sur des matrices 2 × 2, cela donne, pour la case en haut à gauche : nous multiplions le premier nombre de la ligne par le premier de la colonne, le second par le second, et nous ajoutons.
Calculons le produit, pas à pas
Multiplions ces deux matrices. Comme pour l'addition, nous remplissons le résultat une case à la fois ; mais cette fois, chaque case demande la recette ligne par colonne. Avançons doucement.
Première case. Pour obtenir la case en haut à gauche du résultat, nous prenons la première ligne de la matrice de gauche, soit (1 ; 2), et la première colonne de la matrice de droite, soit (0 ; 1). Nous multiplions leurs nombres deux à deux, dans l'ordre, puis nous additionnons les deux produits : 1×0 + 2×1 = 2.
Deuxième case. Gardons la même ligne, la première, mais prenons cette fois la seconde colonne de la matrice de droite, soit (1 ; 0). Nous obtenons la case en haut à droite du résultat : 1×1 + 2×0 = 1.
Les deux dernières cases. Pour la ligne du bas du résultat, nous recommençons avec la seconde ligne de la matrice de gauche, soit (3 ; 4), que nous combinons à son tour avec chaque colonne. Une fois les quatre cases remplies, voici la multiplication complète :
Le tableau ci-dessous récapitule les quatre cases, chacune obtenue en croisant une ligne et une colonne.
| Case du résultat | Ligne utilisée | Colonne utilisée | Calcul |
|---|---|---|---|
| Ligne 1, colonne 1 | (1 ; 2) | (0 ; 1) | 1×0 + 2×1 = 2 |
| Ligne 1, colonne 2 | (1 ; 2) | (1 ; 0) | 1×1 + 2×0 = 1 |
| Ligne 2, colonne 1 | (3 ; 4) | (0 ; 1) | 3×0 + 4×1 = 4 |
| Ligne 2, colonne 2 | (3 ; 4) | (1 ; 0) | 3×1 + 4×0 = 3 |
Pourquoi cette recette, plutôt que la méthode « case par case » qui paraissait si naturelle ? Parce que c'est elle qui donne aux matrices tout leur pouvoir : elle seule permet à une matrice de déplacer les points d'une figure, de la faire tourner ou de la refléter, comme nous allons le voir à l'instant. La méthode « case par case » donnerait ici un autre tableau (1×0, 2×1, 3×1 et 4×0, c'est-à-dire 0, 2, 3, 0), mais ce tableau-là ne permettrait pas, lui, de transformer une figure. La règle des mathématiciens n'est pas la plus simple ; c'est la plus utile.
À quoi sert cette recette ? À transformer une figure
Voyons comment. Pour transformer une figure, nous rangeons les deux coordonnées d'un de ses points dans une colonne, puis nous lui appliquons la recette ligne par colonne. Prenons par exemple la matrice suivante :
Appliquons cette matrice au point B, de coordonnées (4 ; 1). Nous écrivons les deux coordonnées de B dans une colonne, puis nous appliquons la recette ligne par colonne, une coordonnée à la fois.
La coordonnée du haut s'obtient avec la première ligne de la matrice, (0 ; 1), combinée à la colonne (4 ; 1) : 0×4 + 1×1 = 1.
La coordonnée du bas s'obtient avec la seconde ligne de la matrice, (1 ; 0), combinée à la même colonne (4 ; 1) : 1×4 + 0×1 = 4.
Le point B(4 ; 1) se transforme donc en B'(1 ; 4). La matrice a simplement échangé les deux coordonnées : le 4 et le 1 ont changé de place.
Faisons-le pour un petit triangle dont les sommets sont A(1 ; 1), B(4 ; 1) et C(1 ; 3). En échangeant les coordonnées de chacun, nous obtenons A'(1 ; 1), B'(1 ; 4) et C'(3 ; 1). Regardons le résultat sur un quadrillage.
La figure rouge est l'image de la figure bleue dans un miroir posé le long de la diagonale : c'est une symétrie. Et tout cela a été calculé par une simple multiplication de matrices ! Le sommet A, qui se trouvait pile sur le miroir, n'a pas bougé : c'est logique, son reflet est lui-même.
Pour la multiplication des matrices, l'ordre compte ! Multiplier la première matrice par la seconde ne donne pas, en général, le même résultat que multiplier la seconde par la première. Avec les deux matrices de notre exemple, le produit donne dans un sens le tableau (2, 1, 4, 3), et dans l'autre sens le tableau (3, 4, 1, 2) : ce ne sont pas les mêmes. Avec les nombres ordinaires, 3×5 et 5×3 sont toujours égaux ; avec les matrices, ce n'est plus vrai. Voilà encore une surprise de ce chapitre.
Lorsque Arthur Cayley inventa cette recette en 1858, elle pouvait sembler bien compliquée. Pourtant, c'est exactement elle qui fait vivre les images de synthèse aujourd'hui. Dans les jeux vidéo et les films d'animation, chaque fois qu'un personnage tourne la tête ou qu'un vaisseau se déplace à l'écran, l'ordinateur applique cette multiplication de matrices, des millions de fois par seconde, pour calculer la nouvelle position de chaque point. La recette qui peut te surprendre est aussi celle qui anime tes jeux préférés.
- La multiplication de deux matrices ne se fait pas case par case : elle suit la recette « ligne par colonne ».
- Pour chaque case du résultat, nous multiplions une ligne par une colonne, deux à deux, puis nous additionnons.
- Une matrice 2 × 2 peut transformer une figure géométrique, par exemple la refléter dans un miroir.
- L'ordre des deux matrices compte : les multiplier dans un sens ou dans l'autre peut donner des résultats différents.
📖 Le lexique des mots importants
- Matrice
- Tableau de nombres rangés en lignes et en colonnes.
- Coefficient
- Chacun des nombres qui composent une matrice.
- Ligne
- Suite de cases lues de gauche à droite.
- Colonne
- Suite de cases lues de haut en bas.
- Format
- Description d'une matrice par son nombre de lignes, puis son nombre de colonnes (par exemple 2 × 3).
- Matrice carrée
- Matrice qui possède autant de lignes que de colonnes (par exemple 2 × 2).
- Pixel
- Petit carré qui compose une image sur un écran. Sa clarté est rangée dans un nombre.
- Plafonner
- Garder la valeur la plus haute autorisée quand un calcul la dépasse (pour la clarté d'un pixel, le plafond est 255).
- Symétrie
- Transformation qui reflète une figure comme dans un miroir.
- Carré magique
- Tableau carré de nombres dont chaque ligne, chaque colonne et chaque diagonale donnent la même somme.
❓ Le petit quiz
Réponds sans regarder le cours, puis vérifie avec les corrigés à la fin.
🧠 Exercices de réflexion
🔑 Les corrigés
- b) 3 × 2 (la ligne d'abord, la colonne ensuite).
- a) avoir le même format.
- b) la clarté du pixel.
- c) 255.
- b) ligne par colonne.
- b) non, pas toujours (l'ordre compte).
- Addition case par case : 2+3=5, 7+0=7, 5+4=9, 1+6=7. Le résultat est la matrice (5, 7 ; 9, 7).
- Chaque case multipliée par 3 : 20×3=60, 50×3=150, 90×3=270 et 100×3=300. Mais 270 et 300 dépassent le plafond : ils deviennent 255 tous les deux. Le résultat est donc la matrice (60, 150 ; 255, 255).
- Recette ligne par colonne. Ligne 1, colonne 1 : 2×1+0×2=2. Ligne 1, colonne 2 : 2×4+0×5=8. Ligne 2, colonne 1 : 1×1+3×2=7. Ligne 2, colonne 2 : 1×4+3×5=19. Le résultat est la matrice (2, 8 ; 7, 19).
- La matrice échange les deux coordonnées, donc P(5 ; 2) devient P'(2 ; 5). Cette matrice reflète la figure dans un miroir posé le long de la diagonale.
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