Les quadrilatères
Vers 300 av. J.-C., dans la ville d'Alexandrie en Égypte, un mathématicien grec nommé Euclide rassemble dans un grand ouvrage, les Éléments (en grec Stoikheia), tout le savoir géométrique de son époque. Il commence par les définitions les plus simples, le point, la droite, l'angle, puis construit, démonstration après démonstration, une véritable cathédrale logique. C'est lui qui pose pour la première fois l'idée que l'on peut classer les figures selon leurs propriétés. Ses définitions des quadrilatères ne sont pas tout à fait les mêmes que les nôtres aujourd'hui, mais sa méthode, elle, est restée intacte pendant plus de deux mille ans.
1. Qu'est-ce qu'un quadrilatère ?
Un quadrilatère est une figure plane fermée formée de quatre segments. Ces segments sont appelés ses côtés, leurs extrémités ses sommets. Un quadrilatère possède donc exactement quatre côtés et quatre sommets, que l'on désigne en général par des lettres majuscules : A, B, C, D.
Un quadrilatère est un polygone à quatre côtés. La somme de ses quatre angles intérieurs vaut toujours 360°.
Pourquoi 360° ? La justification est simple et belle. Dans les quadrilatères que nous étudierons ici, une diagonale permet de découper la figure en exactement deux triangles. Or la somme des angles d'un triangle vaut 180°. Comme les angles des deux triangles, mis bout à bout, reconstituent les quatre angles du quadrilatère, leur somme totale vaut 180° + 180° = 360°.
Cette propriété est valable pour tous les quadrilatères, qu'ils soient quelconques, allongés, étirés ou parfaitement réguliers. Elle constitue le socle sur lequel reposent toutes les figures que nous allons étudier.
2. L'arbre des quadrilatères
Toutes les figures à quatre côtés ne se ressemblent pas, mais elles s'organisent en une véritable famille, où chaque figure plus particulière hérite des propriétés de celle qui la contient. Voici l'arbre généalogique de cette famille.
Comment lire cet arbre ? Un parallélogramme est aussi un trapèze (avec une seconde paire de côtés parallèles en prime). Un rectangle est aussi un parallélogramme (avec, en plus, des angles droits). Un carré, lui, est à la fois un rectangle et un losange : il cumule les propriétés des deux. Le cerf-volant, enfin, occupe une branche un peu à l'écart, mais croise la famille au niveau du losange, qui possède toutes ses propriétés.
3. Le trapèze
Un trapèze est un quadrilatère qui possède au moins une paire de côtés opposés parallèles. Ces côtés parallèles sont appelés les bases du trapèze.
Les deux autres côtés, AD et BC, sont appelés les jambes du trapèze. Dans un trapèze quelconque, elles n'ont aucune raison d'être de même longueur ou parallèles entre elles : c'est tout l'intérêt du trapèze d'admettre une telle variété de formes.
Propriété des angles
Dans un trapèze, les deux angles situés sur un même côté non parallèle sont supplémentaires : leur somme vaut 180°. Sur la figure ci-dessus, on a donc :
angle A + angle D = 180° et angle B + angle C = 180°.
Cette propriété vient directement du fait que AB et DC sont parallèles. La jambe AD joue alors le rôle d'une sécante qui coupe les deux droites parallèles, et les deux angles intérieurs situés du même côté de cette sécante se complètent toujours à 180°.
En revanche, les angles opposés (A et C, ou B et D) n'ont, eux, aucune raison d'être égaux dans un trapèze quelconque. Ce point cause souvent de la confusion : il faut bien retenir que la propriété d'égalité des angles opposés n'apparaît qu'à partir du parallélogramme.
Le mot « trapèze » vient du grec ancien trapézion (τραπέζιον), petit nom donné à une trapeza (τράπεζα), c'est-à-dire une table. Pour les Grecs, le trapèze était la silhouette d'une petite table à quatre pieds vue de profil : deux côtés parallèles, le plateau en haut et le sol en bas, reliés par deux côtés inclinés. Lorsque, plus tard, on a inventé les agrès de gymnastique suspendus à deux cordes, on les a baptisés trapèzes parce qu'ils dessinent exactement la même figure dans l'air.
Un cas particulier : le trapèze isocèle
Lorsque les deux jambes d'un trapèze ont la même longueur, on dit qu'il est isocèle. Ce trapèze possède alors un axe de symétrie : la médiatrice de ses bases, c'est-à-dire la droite perpendiculaire à ces deux côtés et passant par leurs milieux.
Dans un trapèze isocèle, les angles à la base sont égaux deux à deux : les deux angles situés contre la grande base ont la même mesure, de même que ceux contre la petite base. Cette symétrie permet de reconnaître un trapèze isocèle au premier coup d'œil.
4. Le parallélogramme
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux. C'est donc un trapèze qui possède non pas une, mais deux paires de côtés parallèles.
Le parallélogramme possède trois propriétés caractéristiques qu'il est essentiel de connaître par cœur. Toutes trois découlent du fait que les deux paires de côtés sont parallèles.
1. Les côtés opposés sont de même longueur (AB = DC et AD = BC).
2. Les angles opposés sont égaux (angle A = angle C et angle B = angle D).
3. Les diagonales se coupent en leur milieu (le point I est à la fois le milieu de [AC] et le milieu de [BD]).
Réciproquement, ces propriétés sont si fortes que n'importe laquelle d'entre elles suffit, à elle seule, à garantir que le quadrilatère est un parallélogramme. Par exemple, si l'on sait que les diagonales d'un quadrilatère se coupent en leur milieu, alors ce quadrilatère est, sans aucun doute possible, un parallélogramme.
5. Le rectangle
Un rectangle est un parallélogramme qui possède un angle droit. Il en possède alors automatiquement quatre, puisque ses angles opposés sont égaux et que ses angles consécutifs sont supplémentaires.
Un rectangle hérite de toutes les propriétés du parallélogramme : ses côtés opposés sont égaux et parallèles, ses angles opposés sont égaux, ses diagonales se coupent en leur milieu. À cela s'ajoute une propriété supplémentaire, qui lui est propre :
Les diagonales d'un rectangle sont de même longueur.
Cette propriété est utilisée dans la vie pratique sans qu'on s'en aperçoive. Lorsque les côtés opposés d'un cadre sont déjà taillés deux à deux à la même longueur, les menuisiers et les maçons vérifient qu'il est bien rectangulaire en mesurant les deux diagonales : si elles sont égales, l'assemblage est juste ; sinon, c'est qu'un angle s'écarte de 90°. La géométrie d'Euclide travaille toujours, en silence, sur les chantiers.
6. Le losange
Un losange est un parallélogramme dont les quatre côtés ont la même longueur.
Comme tout parallélogramme, le losange a ses côtés opposés parallèles, ses angles opposés égaux, et ses diagonales se coupent en leur milieu. Mais le fait que ses quatre côtés soient égaux entraîne deux propriétés supplémentaires :
1. Les diagonales sont perpendiculaires.
2. Les diagonales sont les bissectrices des angles aux sommets (chaque diagonale partage l'angle qu'elle traverse en deux moitiés égales).
Notons que le losange ne se déduit pas seulement du parallélogramme. Il pourrait aussi se définir comme un quadrilatère dont les diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu : cette propriété, à elle seule, suffit à reconstruire un losange. Plusieurs chemins mènent donc à la même figure.
7. Le carré
Un carré est un quadrilatère qui est à la fois un rectangle et un losange. Il possède donc quatre côtés de même longueur et quatre angles droits.
Le carré est la figure la plus régulière de la famille des parallélogrammes. Étant à la fois rectangle et losange, il en cumule toutes les propriétés. Ses diagonales sont à la fois : de même longueur (comme dans le rectangle), perpendiculaires (comme dans le losange), et se coupent en leur milieu (comme dans tout parallélogramme). Elles sont également bissectrices des angles droits aux sommets, et les coupent donc chacun en deux angles de 45°.
Le carré possède en outre quatre axes de symétrie : deux qui passent par les milieux des côtés opposés, et deux qui sont ses propres diagonales. C'est, parmi tous les quadrilatères convexes, celui qui en possède le plus.
8. Le cerf-volant
Le cerf-volant est un quadrilatère un peu particulier. Il n'appartient pas à la lignée trapèze-parallélogramme, mais il croise quand même la famille au niveau du losange. Sa forme est immédiatement reconnaissable : elle évoque l'objet volant en papier qui porte le même nom.
Un cerf-volant est un quadrilatère dont les quatre côtés se groupent en deux paires de côtés consécutifs de même longueur. Autrement dit, deux côtés voisins partageant un sommet sont égaux, et les deux autres côtés, voisins entre eux et partageant le sommet opposé, sont également égaux entre eux.
1. Les diagonales sont perpendiculaires.
2. Une des diagonales (celle qui joint les deux sommets « principaux ») est l'axe de symétrie de la figure. Elle est la médiatrice de l'autre diagonale.
3. Les deux angles situés aux sommets latéraux (B et D) sont égaux. En revanche, les angles aux sommets principaux (A et C) n'ont, en général, aucune raison d'être égaux.
On remarque immédiatement la différence avec le parallélogramme : les côtés égaux du cerf-volant sont consécutifs, et non plus opposés. Cette nuance suffit à donner à la figure une silhouette toute différente, avec un axe de symétrie qui passe par deux sommets au lieu de passer par les milieux des côtés.
Le losange occupe une position particulière : ses quatre côtés étant tous égaux, on peut le voir aussi bien comme un parallélogramme (deux paires de côtés opposés parallèles) que comme un cerf-volant (deux paires de côtés consécutifs égaux). C'est pourquoi il appartient aux deux branches de la famille en même temps.
Le cerf-volant géométrique tire son nom de l'objet volant en papier. Ces jouets, originaires d'Asie, étaient connus en Chine depuis l'Antiquité avant d'arriver en Europe à la Renaissance. Pour qu'un cerf-volant vole bien, il faut que ses côtés soient égaux deux à deux le long de l'axe de symétrie : c'est cette forme particulière qui permet à l'objet de se stabiliser dans le vent. La forme géométrique a donc reçu en héritage le nom de l'objet qui en dessine si parfaitement la silhouette.
9. Tableau récapitulatif
Le tableau suivant rassemble les propriétés caractéristiques des six figures principales. Pour le lire utilement, partez d'une figure (une colonne) et descendez la liste de ses propriétés.
Convention de lecture. Une cellule « oui » signifie que la propriété est toujours vérifiée par n'importe quelle figure de cette famille. Une cellule « pas toujours » signifie qu'elle l'est seulement pour certains cas particuliers (par exemple, un trapèze a ses diagonales de même longueur s'il est isocèle ou rectangle, mais pas dans le cas général).
| Propriété | Trapèze | Parallélogramme | Rectangle | Losange | Carré | Cerf-volant |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Côtés opposés parallèles deux à deux | au moins une paire | oui | oui | oui | oui | pas toujours |
| Côtés opposés de même longueur | pas toujours | oui | oui | oui | oui | pas toujours |
| Quatre côtés de même longueur | pas toujours | pas toujours | pas toujours | oui | oui | pas toujours |
| Quatre angles droits | pas toujours | pas toujours | oui | pas toujours | oui | pas toujours |
| Diagonales de même longueur | pas toujours | pas toujours | oui | pas toujours | oui | pas toujours |
| Diagonales perpendiculaires | pas toujours | pas toujours | pas toujours | oui | oui | oui |
| Diagonales se coupent en leur milieu | pas toujours | oui | oui | oui | oui | pas toujours |
Lecture du tableau : le carré est la seule figure à porter sept « oui ». Cela traduit le fait qu'il est, parmi tous les quadrilatères, la figure la plus régulière. À l'opposé, le trapèze quelconque, qui ne demande qu'une paire de côtés parallèles, est le plus libre : il sert de point de départ à toute la famille.
10. Lexique
- Bissectrice
- Demi-droite qui partage un angle en deux angles de même mesure.
- Côté
- Chacun des segments qui forment le contour d'un polygone.
- Diagonale
- Segment qui joint deux sommets non consécutifs d'un polygone. Un quadrilatère possède donc deux diagonales.
- Médiatrice
- Droite perpendiculaire à un segment et passant par son milieu.
- Milieu
- Point d'un segment situé à égale distance de ses deux extrémités.
- Parallèles (droites)
- Deux droites qui ne se rencontrent jamais, aussi loin qu'on les prolonge. Elles gardent toujours la même distance entre elles.
- Perpendiculaires (droites)
- Deux droites qui se coupent en formant un angle droit.
- Polygone
- Figure plane fermée formée d'un nombre fini de segments mis bout à bout. Un quadrilatère est un polygone à quatre côtés.
- Sommet
- Point où deux côtés d'un polygone se rencontrent.
- Sécante
- Droite qui coupe une ou plusieurs autres droites. En particulier, une sécante à deux droites parallèles forme avec elles des angles entre lesquels existent des relations remarquables, étudiées plus en détail dans les classes ultérieures.
- Supplémentaires (angles)
- Deux angles dont la somme des mesures vaut 180°.