Les Pourcentages
Les pourcentages sont partout : dans les magasins, dans les journaux, dans les bulletins météo, dans les résultats sportifs. Savoir les lire, les calculer et les interpréter est une compétence indispensable. Ce cours te guide pas à pas, du début jusqu'aux problèmes les plus complexes.
🧩 Qu'est-ce qu'un pourcentage ?
Imagine que tu as obtenu 17 points sur 20 à un contrôle, et ton ami 26 sur 40. Qui a le mieux réussi ? Pour comparer des quantités qui ne sont pas sur la même base, on a besoin d'un outil commun. Cet outil, c'est le pourcentage.
Le mot pourcentage vient du latin per centum, qui signifie « pour cent ». Un pourcentage exprime une proportion en ramenant toute quantité à une base de 100.
Le symbole % se lit « pour cent ». Ainsi, 35% se lit « trente-cinq pour cent » et signifie 35 pour 100, c'est-à-dire 35100 , ou encore 0,35.
Le symbole % est apparu progressivement dans les manuscrits italiens du XVe siècle. Les marchands ecrivaient d'abord « per 100 » (pour 100), puis « p 100 », puis « pc », avant que cela ne se simplifie en « % ». Ce signe est donc une véritable abréviation de l'histoire du commerce !
La triple écriture
Tout pourcentage peut s'écrire de trois façons équivalentes : sous forme de pourcentage, de fraction et de nombre décimal. Il est essentiel de savoir passer d'une forme à l'autre.
| Pourcentage | Fraction | Décimal | Comment le lire |
|---|---|---|---|
| 1 % | 1100 | 0,01 | Un centième |
| 10 % | 10100 = 110 | 0,10 | Un dixième |
| 25 % | 25100 = 14 | 0,25 | Un quart |
| 50 % | 50100 = 12 | 0,50 | Un demi |
| 75 % | 75100 = 34 | 0,75 | Trois quarts |
| 100 % | 100100 = 1 | 1,00 | La totalité |
Question : Exprimer 34 en pourcentage.
Méthode : il faut transformer la fraction pour qu'elle ait 100 comme dénominateur.
Autre méthode (calculatrice) : 3 ÷ 4 × 100 = 75.
Pour convertir ab en pourcentage : calculer a ÷ b × 100.
Cette formule fonctionne toujours, même quand b ne divise pas 100.
- Un pourcentage exprime une fraction dont le dénominateur est 100.
- p% = p100 = p ÷ 100 (nombre décimal).
- Pour convertir ab en pourcentage : calculer a ÷ b × 100.
- Pour convertir un décimal d en pourcentage : calculer d × 100.
🔢 Calculer un pourcentage d'une quantité
Savoir que « 20 % de remise » est appliqué à un article ne suffit pas : encore faut-il savoir combien cela représente en euros. C'est l'opération la plus courante que l'on effectue avec les pourcentages.
Pour calculer p % d'une quantité Q :
On peut aussi écrire : Résultat = Q × (p ÷ 100)
En France, les soldes d'hiver permettent aux commerçants de vider leurs stocks en proposant des remises. La loi impose que la remise affichée soit calculée par rapport au prix de vente réel pratiqué au cours des 30 jours précédents. Une veste à 120 € avec « -30 % » doit donc être vendue à 120 × (1 - 0,30) = 120 × 0,70 = 84 €. Les services de la répression des fraudes vérifient ces calculs !
Les caissiers d'une grande surface effectuent, sans le savoir, des milliers de calculs de pourcentages chaque jour. Chaque réduction de fidélité, chaque TVA, chaque ristourne en caisse est un calcul du type Q × p100. Un supermarché de taille moyenne applique environ 400 000 réductions de ce type par semaine.
- p % de Q = Q × p100 = Q × (p ÷ 100).
- On peut aussi multiplier directement par le décimal : 15 % de Q = Q × 0,15.
- Vérification : le résultat doit être inférieur à Q si p < 100 %.
📊 Exprimer une quantité en pourcentage
Parfois, on ne veut pas calculer une partie d'une quantité, mais exprimer quelle fraction d'un tout représente une quantité donnée. Par exemple : sur 30 élèves, 24 ont réussi l'interro. Quel pourcentage a réussi ?
Pour savoir quelle fraction la quantité A représente par rapport à la quantité totale B, exprimée en pourcentage :
24 élèves sur 30 ont réussi l'interro.
Vérification : 80 % de 30 = 30 × 0,80 = 24 ✓
Pourquoi les pourcentages sont-ils utiles pour comparer ?
Supposons deux classes : la classe A a 22 réussites sur 28 élèves ; la classe B a 18 réussites sur 24 élèves. Qui a mieux réussi ?
| Classe | Réussites | Total | Calcul | Pourcentage |
|---|---|---|---|---|
| Classe A | 22 | 28 | 2228 × 100 | ≈ 78,6 % |
| Classe B | 18 | 24 | 1824 × 100 | 75 % |
La classe A a un meilleur taux de réussite, même si en nombre absolu la différence est faible.
- Pour exprimer A en pourcentage de B : calculer AB × 100.
- Le pourcentage obtenu est toujours rapporté à la même base (100), ce qui rend les comparaisons équitables.
📈 Les pourcentages supérieurs à 100 %
Il est tout à fait possible qu'un pourcentage dépasse 100 %. Cela arrive lorsqu'une quantité est supérieure à la quantité de référence.
- 100 % = la totalité de la quantité de référence.
- 150 % = une fois et demie la quantité de référence.
- 200 % = deux fois la quantité de référence (doublement).
- 300 % = trois fois la quantité de référence.
Une ville comptait 20 000 habitants en 2000. En 2024, elle en compte 34 000.
La population actuelle représente 170 % de la population de 2000 : elle a augmenté de 70 %.
Dans les journaux sportifs, on lit parfois des phrases comme « cet athlète court 130 % plus vite que la moyenne ». Cela n'a aucun sens mathématique ! La bonne formulation serait : « il court à 130 % de la vitesse moyenne » (soit 30 % plus vite). Les erreurs de pourcentage dans la presse sont très fréquentes. Un bon lecteur doit savoir les repérer !
- Un pourcentage peut être supérieur à 100 % lorsque la quantité considérée dépasse la quantité de référence.
- 150 % de Q = 1,5 × Q ; 200 % de Q = 2 × Q (doublement).
- Multiplier par 100 % revient à laisser la quantité inchangée.
⬆️⬇️ Augmentation et diminution en pourcentage
C'est l'un des chapitres les plus importants, et l'un des plus utiles dans la vie quotidienne. Une remise, une hausse des prix, un taux d'intérêt : tout cela repose sur les augmentations et les diminutions exprimées en pourcentage.
a) Augmentation en pourcentage
Le coefficient (1 + p100) est appelé coefficient multiplicateur. Par exemple, une augmentation de 20 % correspond à un coefficient de 1,20.
Un abonnement de transport coûte 80 € par mois. Son prix augmente de 15 %.
Vérification intuitive : 15 % de 80 = 12, donc 80 + 12 = 92 ✓
b) Diminution en pourcentage
Une diminution de p % correspond à un coefficient (1 - p100). Par exemple, une réduction de 30 % donne un coefficient de 0,70.
Un manteau coûte 125 €. Il est soldé à -40 %.
c) Tableau des coefficients multiplicateurs courants
| Opération | Taux p | Coefficient multiplicateur | Formule |
|---|---|---|---|
| Augmentation de 5 % | 5 % | 1,05 | × 1,05 |
| Augmentation de 10 % | 10 % | 1,10 | × 1,10 |
| Augmentation de 20 % | 20 % | 1,20 | × 1,20 |
| Augmentation de 50 % | 50 % | 1,50 | × 1,50 |
| Réduction de 10 % | 10 % | 0,90 | × 0,90 |
| Réduction de 25 % | 25 % | 0,75 | × 0,75 |
| Réduction de 50 % | 50 % | 0,50 | × 0,50 |
En France, la TVA (taxe sur la valeur ajoutée) est un pourcentage appliqué au prix hors taxe (HT) pour obtenir le prix toutes taxes comprises (TTC). Le taux normal est de 20 %. Cela signifie que le prix TTC est le prix HT multiplié par 1,20. Par exemple, un téléphone à 300 € HT coûte 300 × 1,20 = 360 € TTC. La France a introduit la TVA en 1954 - elle est aujourd'hui présente dans plus de 170 pays dans le monde.
d) Calcul du taux de variation
Parfois, on connaît l'ancienne et la nouvelle valeur, et on veut savoir de quel pourcentage la quantité a augmenté ou diminué. C'est le taux de variation.
Si le résultat est positif, il s'agit d'une hausse. S'il est négatif, il s'agit d'une baisse.
Le prix du litre d'essence était de 1,60 € en janvier et de 1,80 € en juillet.
Le taux de variation se calcule toujours par rapport à l'ancienne valeur, pas par rapport à la nouvelle. Si un prix passe de 100 € à 120 €, la hausse est de 20 %, et non de 20120 ≈ 16,7 %.
Règle pratique : le dénominateur de la formule est toujours la valeur de départ.
- Augmentation de p % : multiplier par (1 + p100).
- Diminution de p % : multiplier par (1 - p100).
- Le facteur (1 ± p100) s'appelle coefficient multiplicateur.
- Taux de variation = V2 - V1V1 × 100.
🔍 Retrouver la valeur initiale (pourcentage inverse)
Parfois, on connaît le résultat d'une opération en pourcentage, mais pas la valeur de départ. C'est le cas lorsqu'on lit « ce produit coûte 84 € après 30 % de réduction » et qu'on veut retrouver le prix d'origine.
Si l'on sait que V2 est le résultat de l'application du coefficient multiplicateur k à la valeur initiale V1, alors :
Pour une réduction de 30 %, k = 0,70 ; pour une augmentation de 20 %, k = 1,20.
Un manteau coûte 84 € après une réduction de 30 %. Quel était son prix initial ?
Vérification : 30 % de 120 = 36 ; 120 - 36 = 84 ✓
Après une augmentation de 20 %, un loyer mensuel est de 720 €. Quel était le loyer initial ?
Vérification : 20 % de 600 = 120 ; 600 + 120 = 720 ✓
Si un article coûte 84 € après -30 % de réduction, le prix initial N'EST PAS 84 + 30 % de 84 = 84 + 25,20 = 109,20 €. Cette erreur est très répandue !
La bonne méthode est toujours de diviser par le coefficient multiplicateur : 84 ÷ 0,70 = 120 €.
- Pour retrouver la valeur initiale V1 : V1 = V2 ÷ coefficient multiplicateur.
- Après réduction de p % : V1 = V2 ÷ (1 - p100).
- Après augmentation de p % : V1 = V2 ÷ (1 + p100).
- Toujours vérifier en appliquant la transformation dans le sens direct.
🏪 Applications concretes : remise, TVA, intérêt simple
Les pourcentages ont des applications directes dans la vie quotidienne et dans la vie économique. Ce chapitre explore trois situations parmi les plus fréquentes.
a) La remise commerciale
Une remise (ou réduction) est une diminution du prix d'un article. Elle est souvent exprimée en pourcentage du prix initial.
Prix remisé = Prix initial × (1 - taux de remise)
Un vélo est affiché à 360 €. Une remise de 25 % est appliquée.
Montant de la remise : 360 - 270 = 90 € (ou 25 % × 360 = 90 €).
b) La TVA
La TVA (taxe sur la valeur ajoutée) est une taxe ajoutée au prix hors taxe (HT). Le prix TTC (toutes taxes comprises) est obtenu en appliquant le coefficient correspondant au taux de TVA.
En France, les principaux taux sont : 20 % (taux normal), 10 % (restauration, travaux), 5,5 % (alimentation, livres), 2,1 % (médicaments remboursables).
Prix TTC = Prix HT × (1 + taux TVA)
| Taux TVA | Coefficient | Exemples de produits concernés |
|---|---|---|
| 20 % | 1,20 | Électronique, vêtements, voitures |
| 10 % | 1,10 | Restaurants, travaux, transports |
| 5,5 % | 1,055 | Alimentation, livres, spectacles |
| 2,1 % | 1,021 | Médicaments remboursables, presse |
Un ordinateur est affiché 500 € HT. Quel est son prix TTC (TVA à 20 %) ?
Montant de la TVA : 600 - 500 = 100 € (ou 20 % × 500 = 100 €).
c) L'intérêt simple
Lorsqu'on place une somme d'argent (le capital) sur un compte rémunéré, la banque verse chaque année un intérêt, calculé comme un pourcentage du capital initial.
Intérêt annuel = Capital × taux / Capital final = Capital + (Capital × taux × nombre d'années)
On place 2 000 € à un taux d'intérêt simple annuel de 3 %.
L'intérêt simple ne rapporte pas d'intérêt sur les intérêts déjà accumulés. Il existe une autre forme d'intérêt, appelée intérêt composé, que l'on étudiera en 5e, où les intérêts s'accumulent et produisent eux-mêmes des intérêts. Albert Einstein aurait dit que l'intérêt composé est « la huitième merveille du monde » - bien que cette citation ne lui soit pas formellement attribuée, elle illustre bien la puissance de ce mécanisme sur le long terme.
- Prix remisé = Prix initial × (1 - taux de remise).
- Prix TTC = Prix HT × (1 + taux TVA).
- Intérêt simple annuel = Capital × taux d'intérêt.
- Capital après n années = Capital × (1 + n × taux).
📚 Vocabulaire essentiel
Rapport d'une quantité à une autre, exprimé pour 100. Le symbole est %. Exemple : 45 % signifie 45100.
Nombre par lequel on multiplie la valeur initiale pour obtenir la valeur finale. Pour une hausse de p %, il vaut (1 + p100). Pour une baisse de p %, il vaut (1 - p100).
Mesure en pourcentage de l'écart entre une ancienne valeur et une nouvelle valeur, rapporté à l'ancienne valeur : V2 - V1V1 × 100.
Réduction accordée sur un prix, exprimée en pourcentage du prix initial.
Taxe collectée par l'État, intégrée dans le prix de vente des produits et services. Le taux normal en France est de 20 %.
HT = hors taxe (avant TVA) ; TTC = toutes taxes comprises (après ajout de la TVA). Prix TTC = Prix HT × (1 + taux TVA).
Revenu annuel d'un capital placé, calculé chaque année sur le capital initial uniquement. Intérêt annuel = Capital × taux.
📝 Exercices
Ces exercices sont classés par difficulté croissante. Essaie de les résoudre en posant tous tes calculs avant de consulter le corrigé.
Convertis chacune des fractions suivantes en pourcentage. Pose tes calculs.
a) 34 b) 25 c) 720 d) 1725 e) 98
Convertis chacun des pourcentages suivants en nombre décimal et en fraction simplifiée.
a) 40 % b) 8 % c) 135 % d) 7,5 % e) 0,4 %
Calcule chacune des quantités suivantes.
a) 25 % de 80 b) 15 % de 200 c) 8 % de 350 d) 0,5 % de 4 000
Exprime chaque quantité en pourcentage de la quantité totale.
a) 18 sur 45 b) 27 sur 36 c) 52 sur 65 d) 7 sur 8
Une classe de 32 élèves a passé une évaluation. 24 élèves ont obtenu la moyenne. Quel est le pourcentage de réussite ? Arrondir à l'entier si nécessaire.
Une veste est affichée à 85 €. Elle est soldée à -40 %. Quel est le prix soldé ? Quel est le montant de la réduction ?
En janvier, le prix d'un abonnement de streaming est de 12,99 € par mois. En juillet, il augmente de 12 %. Quel est le nouveau prix mensuel ? (Arrondir au centime.)
Dans une ville de 125 000 habitants, 40 % utilisent les transports en commun pour se rendre au travail. Combien de personnes cela représente-t-il ?
Après une réduction de 20 %, un blouson coûte 72 €. Quel était son prix avant la réduction ? Pose le calcul en utilisant le coefficient multiplicateur.
Théo place 2 500 € sur un compte rémunéré à 2 % d'intérêt simple par an.
a) Quel intérêt touche-t-il la première année ?
b) Quel est le montant total disponible après 4 ans ?
Un canapé est affiché à 650 € HT. La TVA applicable est de 20 %.
a) Quel est le montant de la TVA ?
b) Quel est le prix TTC du canapé ?
c) Si tu connais seulement le prix TTC de 780 €, comment retrouves-tu le prix HT ?
Le prix d'un article augmente de 25 % en mars, puis diminue de 20 % en juin (par rapport au prix de mars). Quel est le pourcentage de variation globale par rapport au prix de janvier ? (Aide : utilise les coefficients multiplicateurs successifs.)
Dans la classe A, 21 élèves sur 28 ont réussi leur brevet blanc. Dans la classe B, 20 élèves sur 25 l'ont réussi. Quelle classe a le meilleur taux de réussite ? Justifie ta réponse par des calculs.
Une commune comptait 12 000 habitants en 2010 et 15 600 habitants en 2024. Calcule le taux de variation de la population sur cette période.
✅ Corrigés détaillés
Pour chaque exercice, le raisonnement complet est indiqué. Comprendre la méthode est plus important que d'avoir juste trouvé la réponse.