Introduction aux ensembles
Trier, regrouper, comparer - le langage universel des mathématiques
Cours d'initiation🎒 Avant de commencer
Imagine que tu ranges ta chambre. Les livres d'un côté, les jeux de l'autre, les vêtements dans l'armoire. Sans t'en rendre compte, tu viens de créer des ensembles. Les mathématiques ont donné un nom et un langage précis à quelque chose que les êtres humains font instinctivement depuis la nuit des temps.
Ce cours te fera découvrir ce langage pas à pas. À la fin, tu seras capable de lire et d'écrire des notations comme 3 ∈ ℕ ou ℕ ⊂ ℤ sans la moindre hésitation. Ce vocabulaire est le même dans tous les pays du monde - c'est l'une des langues les plus universelles qui existent.
Comment utiliser ce cours : lis chaque chapitre dans l'ordre, sans en sauter. Chaque notion s'appuie sur la précédente. Quand tu rencontres un encadré coloré, prends le temps de le lire entièrement avant de continuer. Les exercices à la fin du cours te permettront de vérifier que tu as bien compris l'essentiel.
Qu'est-ce qu'un ensemble ?
Tout part d'une idée très simple : on peut rassembler des objets dans une collection. Cette collection s'appelle un ensemble, et chaque objet qui en fait partie s'appelle un élément.
Un ensemble est une collection bien définie d'objets distincts, appelés ses éléments. On dit « bien définie » parce que pour chaque objet, on doit pouvoir répondre sans ambiguïté à la question : cet objet fait-il partie de la collection ou non ?
Par exemple, « l'ensemble des nombres pairs inférieurs à 10 » est bien défini : 4 en fait partie, 7 non. En revanche, « l'ensemble des nombres sympa » n'est pas bien défini, car « sympa » n'a pas de critère mathématique précis.
- On désigne habituellement un ensemble par une lettre majuscule : A, B, E…
- On liste ses éléments entre accolades { }, séparés par des virgules.
Cela se lit : « A est l'ensemble dont les éléments sont 1, 2, 3, 4 et 5. »
Deux règles importantes : l'ordre des éléments n'a aucune importance ({1, 2, 3} est le même ensemble que {3, 1, 2}), et un même élément ne peut pas figurer deux fois ({1, 1, 2} s'écrit simplement {1, 2}).
| Ensemble | Notation | Commentaire |
|---|---|---|
| Les voyelles de l'alphabet | V = { a, e, i, o, u } | 5 éléments |
| Les chiffres pairs de 0 à 8 | P = { 0, 2, 4, 6, 8 } | 5 éléments |
| Les chiffres (de 0 à 9) | D = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } | 10 éléments |
| L'ensemble formé du seul nombre 10 | S = { 10 } | 1 seul élément - on l'appelle un singleton |
Il existe un ensemble très particulier : celui qui ne contient aucun élément. On l'appelle l'ensemble vide et on le note ∅ (ou parfois { }).
Par exemple, « l'ensemble des nombres pairs impairs » est vide, car aucun nombre ne peut être pair et impair à la fois. En mathématiques, l'ensemble vide est un objet parfaitement légitime et très utile - ne sois pas surpris de le rencontrer souvent.
La théorie des ensembles a été inventée par le mathématicien allemand Georg Cantor (1845–1918). Avant lui, personne ne disposait d'un langage rigoureux pour parler de collections d'objets mathématiques. Cantor a eu l'idée géniale d'en faire une théorie cohérente - et de l'appliquer à quelque chose d'aussi vertigineux que l'infini.
En 1874, Cantor publie un article qui va bouleverser les mathématiques. Il montre qu'il existe des degrés dans l'infini : l'ensemble des nombres entiers est infini, mais l'ensemble des nombres réels est « encore plus infini ».
Cette idée était tellement étrange que ses collègues mathématiciens la refusèrent avec violence. Le grand mathématicien Kronecker l'appela même « corrupteur de la jeunesse ». Cantor tomba plusieurs fois malade, rongé par les critiques. Pourtant, il avait raison. Aujourd'hui, la théorie des ensembles est reconnue comme le fondement de toutes les mathématiques modernes.
- Un ensemble est une collection bien définie d'objets distincts appelés éléments.
- On note un ensemble avec une lettre majuscule et ses éléments entre accolades : A = {1, 2, 3}.
- L'ordre des éléments est sans importance ; un élément ne se répète pas.
- L'ensemble vide ∅ ne contient aucun élément.
Appartenir à un ensemble - ∈ et ∉
Maintenant que tu sais ce qu'est un ensemble, la première question naturelle est : comment dire qu'un élément fait partie d'un ensemble, ou n'en fait pas partie ? Les mathématiciens utilisent deux symboles précis pour cela.
-
Le symbole ∈ se lit « appartient à ».
a ∈ A signifie : « l'élément a appartient à l'ensemble A. » -
Le symbole ∉ se lit « n'appartient pas à ».
a ∉ A signifie : « l'élément a n'appartient pas à l'ensemble A. »
Prenons un exemple concret. Soit l'ensemble A = {2, 4, 6, 8, 10}.
| Écriture mathématique | Lecture en français | Vrai ou faux ? |
|---|---|---|
| 4 ∈ A | 4 appartient à A | ✅ Vrai (4 est dans la liste) |
| 10 ∈ A | 10 appartient à A | ✅ Vrai (10 est dans la liste) |
| 7 ∉ A | 7 n'appartient pas à A | ✅ Vrai (7 ne figure pas dans la liste) |
| 0 ∉ A | 0 n'appartient pas à A | ✅ Vrai (0 ne figure pas dans la liste) |
| 3 ∈ A | 3 appartient à A | ❌ Faux (3 ne figure pas dans la liste) |
Le symbole ∈ est apparu pour la première fois en 1889 dans les travaux du mathématicien italien Giuseppe Peano. Il s'agit d'une lettre grecque minuscule, le epsilon (ε), légèrement stylisée. Peano l'a choisie parce qu'elle est l'initiale du mot grec ἔστι (esti), qui signifie « est » - comme dans « x est un élément de A ».
Fais bien attention : ∈ s'écrit toujours entre un élément (un objet unique) et un ensemble (une collection). On n'utilise pas ∈ pour comparer deux ensembles entre eux : pour cela, un autre symbole existe, que tu découvriras au chapitre suivant.
- a ∈ A se lit « a appartient à A ».
- a ∉ A se lit « a n'appartient pas à A ».
- Ces deux symboles expriment la relation entre un élément et un ensemble.
Les sous-ensembles - ⊂
Jusqu'ici, tu as comparé des éléments à des ensembles. Maintenant, comparons deux ensembles entre eux. La question est : est-ce qu'un ensemble est entièrement « contenu » dans un autre ?
On dit que A est un sous-ensemble de B (ou que A est inclus dans B) si tout élément de A est aussi un élément de B.
On note cela :
Cela se lit : « A est inclus dans B » ou « A est un sous-ensemble de B ».
La représentation la plus parlante d'un sous-ensemble est un cercle à l'intérieur d'un autre cercle.
A = {2, 4, 6} est inclus dans B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
- A = {1, 3} et B = {1, 2, 3, 4, 5}. Tout élément de A (1 et 3) est bien dans B : donc A ⊂ B. ✅
- C = {1, 7} et B = {1, 2, 3, 4, 5}. L'élément 7 est dans C mais pas dans B : donc C n'est pas inclus dans B. ❌
- L'ensemble des chiffres pairs P = {0, 2, 4, 6, 8} est-il inclus dans l'ensemble des chiffres D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ? Oui, car tout chiffre pair est bien un chiffre : P ⊂ D. ✅
Ces deux résultats méritent d'être bien compris, car ils peuvent dérouter au premier abord.
- Tout ensemble est un sous-ensemble de lui-même : A ⊂ A. En effet, chaque élément de A est bien dans A - la condition est donc remplie automatiquement.
- L'ensemble vide est un sous-ensemble de tout ensemble : ∅ ⊂ A pour n'importe quel ensemble A. Pourquoi ? Parce que ∅ ne contient aucun élément, il n'y a donc aucun élément à vérifier. La condition « tout élément de ∅ est dans A » est satisfaite… par absence de contre-exemple.
Les cercles emboîtés que tu viens de voir - où un ensemble apparaît comme un cercle à l'intérieur d'un autre - portent le nom de diagrammes de Venn. Ils ont été popularisés par le logicien et philosophe anglais John Venn (1834–1923), qui les a introduits en 1880 dans un article intitulé On the Diagrammatic and Mechanical Representation of Propositions and Reasonings.
Ce qui est amusant, c'est que Venn lui-même reconnaissait que des représentations similaires existaient avant lui (notamment chez le mathématicien Euler, au XVIIIe siècle). Pourtant, son nom est resté attaché à ces diagrammes, qui sont aujourd'hui utilisés dans la quasi-totalité des cours de mathématiques, de logique et même d'informatique dans le monde entier.
- A ⊂ B signifie « tout élément de A appartient aussi à B ».
- On peut représenter cela par un cercle A à l'intérieur d'un cercle B.
- ∅ ⊂ A pour tout ensemble A.
- A ⊂ A : tout ensemble est inclus dans lui-même.
Intersection et réunion - ∩ et ∪
Tu sais maintenant comparer un élément à un ensemble (∈) et un ensemble à un autre (⊂). Maintenant, apprenons à combiner deux ensembles pour en former un troisième. Il y a deux façons principales de le faire.
1. L'intersection - ce que deux ensembles ont en commun
L'intersection de deux ensembles A et B est l'ensemble de tous les éléments qui appartiennent à la fois à A et à B.
On lit A ∩ B : « A inter B ».
Pour trouver A ∩ B, on repère les éléments qui se trouvent dans les deux listes à la fois. Tout élément présent dans une seule des deux listes n'appartient pas à l'intersection.
Considérons deux ensembles : A = {2, 4, 6, 8, 10} (les multiples non nuls de 2 inférieurs à 12) et B = {3, 6, 9} (les multiples non nuls de 3 inférieurs à 12). L'élément 6 est le seul à figurer dans les deux listes : donc A ∩ B = {6}.
La zone violette représente A ∩ B, les éléments communs aux deux ensembles.
2. La réunion - tout ce qui est dans au moins l'un des deux ensembles
La réunion de deux ensembles A et B est l'ensemble de tous les éléments qui appartiennent à A, à B, ou aux deux.
On lit A ∪ B : « A union B ».
Pour trouver A ∪ B, on rassemble tous les éléments des deux listes en une seule, sans répéter ceux qui apparaissent dans les deux ensembles à la fois.
Attention : le mot « ou » en mathématiques signifie « au moins l'un des deux » - pas « l'un ou l'autre, mais pas les deux ». Les éléments présents dans les deux ensembles à la fois font bien partie de la réunion.
Avec les mêmes ensembles A = {2, 4, 6, 8, 10} et B = {3, 6, 9}, la réunion regroupe tous les éléments qui figurent dans au moins l'une des deux listes (sans répéter le 6 qui figure dans les deux) :
La zone bleue entière représente A ∪ B - tout ce qui est dans A ou dans B.
Soit C = {a, e, i, o, u} (les voyelles) et F l'ensemble des lettres du mot BELLE, sans répétition : F = {b, e, l}.
- Intersection : C ∩ F = {e} (seul « e » est commun aux deux ensembles).
- Réunion : C ∪ F = {a, b, e, i, l, o, u}.
La réunion et l'intersection sont utilisées chaque jour dans des domaines très concrets.
En médecine, un médecin cherche les symptômes qui appartiennent
à l'intersection de plusieurs maladies pour poser un diagnostic différentiel.
En informatique, les moteurs de recherche utilisent l'intersection (recherche avec
« ET ») et la réunion (recherche avec « OU ») pour filtrer des millions de pages web.
En bases de données, ce sont les opérateurs SQL INTERSECT et UNION.
- A ∩ B (intersection) : éléments appartenant à la fois à A et à B.
- A ∪ B (réunion) : éléments appartenant à A, à B, ou aux deux.
- On peut les visualiser grâce aux diagrammes de Venn.
- Si A et B n'ont aucun élément en commun, alors A ∩ B = ∅.
La grande famille des nombres - ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ
Maintenant que tu maîtrises les outils des chapitres précédents, tu vas les appliquer aux ensembles les plus importants des mathématiques : les grands ensembles de nombres. Ils forment une famille emboîtée, du plus petit au plus grand.
L'ensemble ℕ (la lettre N en écriture spéciale, de l'allemand natürliche Zahlen) est l'ensemble des entiers naturels : les nombres que l'on utilise pour compter des objets.
En France, le zéro est inclus dans ℕ. Quand on veut exclure le zéro, on écrit ℕ* = {1, 2, 3, …}.
L'ensemble ℤ (du mot allemand Zahlen, « nombres ») est l'ensemble des entiers relatifs : tous les entiers naturels, et aussi leurs opposés négatifs.
Puisque tout entier naturel est aussi un entier relatif, on a bien ℕ ⊂ ℤ.
L'ensemble 𝔻 est l'ensemble des nombres décimaux : tous les nombres qui peuvent s'écrire sous la forme d'une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10 (10, 100, 1 000, etc.).
Par exemple, 0,75 = 75/100 ∈ 𝔻 et 0,1 = 1/10 ∈ 𝔻. Tout entier relatif est un décimal : 5 = 50/10, donc ℤ ⊂ 𝔻.
En revanche, tous les rationnels ne sont pas décimaux : 1/3 ∈ ℚ mais 1/3 ∉ 𝔻, car son écriture décimale 0,333… ne se termine jamais.
L'ensemble ℚ (du latin quotient) est l'ensemble des nombres rationnels : tous les nombres qui peuvent s'écrire sous la forme d'une fraction p/q, où p et q sont des entiers relatifs et q ≠ 0.
Tout décimal est un rationnel (son dénominateur est une puissance de 10, donc c'est bien une fraction d'entiers), donc 𝔻 ⊂ ℚ.
L'ensemble ℝ est l'ensemble de tous les nombres réels : tous ceux que l'on peut placer sur une droite graduée. Il contient ℚ, mais aussi des nombres qui ne peuvent s'écrire sous aucune forme de fraction - on les appelle les nombres irrationnels. Les plus célèbres sont √2 et π.
| Ensemble | Symbole | Ce qu'il contient | Exemples |
|---|---|---|---|
| Entiers naturels | ℕ | Nombres entiers ≥ 0 | 0, 1, 5, 100 |
| Entiers relatifs | ℤ | ℕ + les entiers négatifs | −7, −1, 0, 3 |
| Nombres décimaux | 𝔻 | ℤ + les fractions à dénominateur puissance de 10 | 0,5 ; 0,25 ; −0,1 |
| Nombres rationnels | ℚ | 𝔻 + toutes les fractions | ⅓, −2/7, 0,75 |
| Nombres réels | ℝ | ℚ + les irrationnels | √2, π, e |
Ce qui est fondamental à retenir, c'est la chaîne d'inclusions :
Chaque ensemble est un sous-ensemble du suivant. On peut le visualiser grâce à des rectangles emboîtés.
Les grands ensembles de nombres sont emboîtés : chaque anneau contient de nouveaux types de nombres.
Pour chaque nombre, dis à quel(s) ensemble(s) il appartient :
- 5 → 5 ∈ ℕ, donc 5 ∈ ℤ, 5 ∈ 𝔻, 5 ∈ ℚ et 5 ∈ ℝ.
- −3 → −3 ∉ ℕ, mais −3 ∈ ℤ, −3 ∈ 𝔻, −3 ∈ ℚ, −3 ∈ ℝ.
- 0,5 → 0,5 ∉ ℕ, 0,5 ∉ ℤ, mais 0,5 = 5/10 ∈ 𝔻, donc 0,5 ∈ ℚ et 0,5 ∈ ℝ.
- ⅓ → ⅓ ∉ ℤ, ⅓ ∉ 𝔻 (car 0,333… ne se termine jamais), mais ⅓ ∈ ℚ et ⅓ ∈ ℝ.
- √2 → √2 ∉ ℚ, mais √2 ∈ ℝ.
Il y a environ 2 500 ans, les mathématiciens de l'école de Pythagore croyaient que tout nombre pouvait s'exprimer comme une fraction d'entiers. C'était pour eux une vérité fondamentale, presque religieuse.
Puis un disciple, qu'on appelle Hippase de Métaponte, démontra que √2 (la longueur de la diagonale d'un carré de côté 1) ne peut s'écrire comme aucune fraction. Ce nombre « irrationnel » brisait leur vision du monde. La légende - probablement inventée - raconte qu'Hippase fut jeté à la mer pour avoir trahi ce secret si gênant.
Ce que l'on sait avec certitude, c'est que la démonstration de l'irrationalité de √2 est l'une des plus anciennes preuves mathématiques rigoureuses qui nous soit parvenue. Elle est toujours enseignée aujourd'hui, presque à l'identique.
- ℕ = {0, 1, 2, 3, …} - les entiers naturels.
- ℤ ajoute les entiers négatifs : ℕ ⊂ ℤ.
- 𝔻 ajoute les décimaux (écriture à virgule finie) : ℤ ⊂ 𝔻.
- ℚ ajoute toutes les fractions, y compris celles dont l'écriture décimale est infinie : 𝔻 ⊂ ℚ.
- ℝ ajoute les irrationnels comme √2 et π : ℚ ⊂ ℝ.
- La chaîne d'inclusions est : ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ.
Exercices
Traite chaque exercice sur une feuille séparée. La correction se trouve à la suite, sur la page suivante.
Écris en notation d'ensemble (avec accolades) chacune des collections suivantes :
- Les multiples de 5 compris entre 1 et 30 (inclus).
- Les lettres du mot TRIANGLE, sans répétition.
- Les entiers naturels strictement inférieurs à 4.
Complète chaque ligne avec le symbole ∈ ou ∉ qui convient.
- 0 _____ ℕ
- -5 _____ ℕ
- -5 _____ ℤ
- ½ _____ ℤ
- ½ _____ ℚ
- π _____ ℚ
- 7 _____ D, où D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
- 10 _____ D
Soit A = {2, 4}, B = {1, 2, 3, 4, 5} et C = {2, 4, 7}.
- A ⊂ B ? Justifie ta réponse.
- C ⊂ B ? Justifie ta réponse.
- A ⊂ C ? Justifie ta réponse.
Soit V = {a, e, i, o, u} (les voyelles) et B = {a, b, c, d, e, f, g}.
- Calcule V ∩ B.
- Calcule V ∪ B.
- Est-ce que V ⊂ B ? Justifie.
Soit P = {0, 2, 4, 6, 8} (les chiffres pairs) et D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} (tous les chiffres).
- Calcule P ∩ D.
- Calcule P ∪ D.
- Peut-on affirmer que P ⊂ D ? Justifie.
Dans une classe, on appelle M l'ensemble des élèves qui pratiquent la musique et S l'ensemble de ceux qui font du sport.
M = {Léa, Tom, Yasmine, Chloé} et S = {Tom, Chloé, Maxime, Inès}.
- Qui pratique à la fois la musique et le sport ? Traduis cela avec le symbole qui convient.
- Qui pratique au moins l'une des deux activités ? Traduis cela avec le symbole qui convient.
- Est-ce que M ⊂ S ? Justifie.
Pour chacun des nombres suivants, indique à quel(s) ensemble(s) parmi ℕ, ℤ, 𝔻, ℚ et ℝ il appartient. Justifie brièvement.
- 8
- -2
- 3/4
- -7/3
- √5
Lexique
Corrections des exercices
- {5, 10, 15, 20, 25, 30}
- {T, R, I, A, N, G, L, E} - 8 lettres distinctes (T, R, I, A, N, G, L, E apparaissent chacune une seule fois)
- {0, 1, 2, 3} - on inclut 0 car 0 ∈ ℕ et 0 < 4
- 0 ∈ ℕ (le zéro est un entier naturel en France)
- -5 ∉ ℕ (ℕ ne contient pas d'entiers négatifs)
- -5 ∈ ℤ
- ½ ∉ ℤ (ce n'est pas un entier)
- ½ ∈ ℚ (c'est une fraction d'entiers)
- π ∉ ℚ (π est irrationnel - il ne peut pas s'écrire comme fraction)
- 7 ∈ D (7 est l'un des dix chiffres)
- 10 ∉ D (10 est un nombre à deux chiffres, ce n'est pas lui-même un chiffre)
- Oui, A ⊂ B : les éléments 2 et 4 appartiennent tous les deux à B, donc tout élément de A est bien dans B.
- Non, C n'est pas inclus dans B, car 7 ∈ C mais 7 ∉ B. La condition d'inclusion n'est donc pas satisfaite.
- Oui, A ⊂ C : les éléments 2 et 4 appartiennent tous les deux à C, donc tout élément de A est bien dans C.
- V ∩ B = {a, e} (a et e sont les seuls éléments présents dans les deux ensembles)
- V ∪ B = {a, b, c, d, e, f, g, i, o, u}
- Non, V ⊄ B : i ∈ V mais i ∉ B, donc V n'est pas inclus dans B.
- P ∩ D = {0, 2, 4, 6, 8} = P (tous les éléments de P sont déjà dans D)
- P ∪ D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} = D (D contient déjà tous les éléments de P)
- Oui, P ⊂ D : tout chiffre pair (0, 2, 4, 6, 8) est bien un chiffre. Remarque : cela explique pourquoi P ∩ D = P et P ∪ D = D.
- M ∩ S = {Tom, Chloé}
- M ∪ S = {Chloé, Inès, Léa, Maxime, Tom, Yasmine}
- Non, M ⊄ S : Léa ∈ M mais Léa ∉ S.
- 8 : 8 ∈ ℕ, donc 8 ∈ ℤ, 8 ∈ 𝔻, 8 ∈ ℚ et 8 ∈ ℝ.
- -2 : -2 ∉ ℕ, mais -2 ∈ ℤ, donc -2 ∈ 𝔻, -2 ∈ ℚ et -2 ∈ ℝ.
- 3/4 : 3/4 ∉ ℤ, mais 3/4 = 75/100 ∈ 𝔻, donc 3/4 ∈ ℚ et 3/4 ∈ ℝ.
- -7/3 : -7/3 ∉ ℤ et -7/3 ∉ 𝔻 (son écriture décimale -2,333… ne se termine pas), mais -7/3 ∈ ℚ (fraction d'entiers relatifs) et -7/3 ∈ ℝ.
- √5 : √5 ∉ ℚ (il ne peut s'écrire comme fraction), mais √5 ∈ ℝ.